$\text{Đáp án + Giải thích các bước giải:}$

$\text{a) Xét tứ giác AMCK, có :}$

$\text{· I là trung điểm của AC (gt)}$

$\text{· I là trung điểm của MK (gt)}$

$\text{⇒ Tứ giác AMCK là hình bình hành  }$

$\text{Ta có : ΔABC cân tại C (gt)}$

$\text{mà AM là đường trung tuyến của ΔABC (gt)}$

$\text{⇒ AM cũng là đường cao của ΔABC }$

$\text{⇒ AM ⊥ BC tại M}$

$\text{⇒ $\widehat{AMC}$ = $90^{o}$ }$

$\text{mà Tứ giác AMCK là hình bình hành (cmt)}$

$\text{⇒ Hình bình hành AMCK là hình chữ nhật}$

$\text{b) Ta có : AC = MK ( tính chất hình chữ nhật AMCK )}$

$\text{mà AB = AC ( 2 cạnh bên của ΔABC cân tại A )}$

$\text{⇒ AB = MK ( =AC )}$

$\text{c) Nếu tứ giác AMBK là hình vuông thì :}$

$\text{AM = MC ( 2 cạnh của hình vuông )}$

$\text{mà MC = $\dfrac{BC}{2}$ (gt)}$

$\text{⇒ AM = $\dfrac{BC}{2}$}$

$\text{⇒ ΔABC vuông tại A ( đường trung tuyến = nữa cạnh huyền )}$

$\text{mà ΔABC cân tại A}$

$\text{⇒ ΔABC vuông cân tại A}$

$\text{Bài tiếp theo :}$

$\text{Xét ΔABC cân tại A :}$

$\text{AH là đường cao}$

$\text{⇒ AH cũng là đường tiếp tuyến}$

$\text{⇒ AH =HC = $\dfrac{BC}{2}$ = $\dfrac{12}{2}$ = 6cm}$

$\text{Xét ΔABH vuông tại H:}$

$\text{AB² = AH² + BH² (Pyatago)}$

$\text{10² = AH² +  6² }$

$\text{AH² = 64}$

$\text{AH = 8cm}$

$\text{$S_{ABC}$ = $\dfrac{1}{2}$ AH . BC}$

$\text{= $\dfrac{1}{2}$ . 8 . 12}$

$\text{= 48 cm²}$

$\text{Xét tứ giác AEBH, có:}$

$\text{· M là trung điểm EH (gt)}$

$\text{· M là trung điểm AB (gt)}$

$\text{⇒ tứ giác AEBH là hình bình hành}$

$\text{mà $\widehat{AHB}$ = $90^{o}$  (gt)}$

$\text{⇒ hình bình hành AEBH là hình chữ nhật }$