a) Xét tứ giác BEDF ta có:

 ∠BED = 90 độ ( do BE ⊥ DE)

 ∠ EBF = 90 độ (ΔABC vuông tại B)

 ∠BFD = 90 độ ( do DF ⊥ BC)

 => BEDF là hình chữ nhật.

 Có BD là tia phân giác của ∠ABC nên => ∠DBF = ∠EBD = 45 độ

=> Tam giác BDF là Δvuông cân tại F.

=> BF = DF

=> BEDF là hình vuông.

b) Vì BEDF là hình vuông(cm ý a) 

=> DE=DF

Ta có: D∈ đường trung trực của AC

     Áp dụng t/c đường trung trực

=> DA=DC

Xét Δ ADE và ΔCDF ta có:

∠AED =∠ CFD( = 90 độ)

DA = DC (cmt)

DE = DF (cmt)

=> ΔADE = Δ CDF (ch - cgv).

=> EA = FC (hai cạnh tương ứng = nhau)

c) Biết AB=6cm. BC=8cm

Á/d định lý Pytago trong Δ ABC,ta có:

AC²=AB²+BC² = 6²+8²= 100

Vì AC>0=> AC=√100=10 cm

+ M là trung điểm của AC=> AM=MC(=5 cm)

Ta có: Δ AED =ΔCFD (cmt)

=> ∠EDA = ∠CDF

Mà: ∠ EDA + ∠ AEF = 90 độ

=>∠EDA + ∠ FDC = 90 độ

=> Δ ADCvuông tại D

Xét Δ ADCvuông tại D có DM là đường cao ứng với cạnh huyền AC

=> DM=1/2 AC

=>  DM = AM = MC = 5cm.

=> Tam giác ADM vuông cân tại M

=> $S_{ADM}$ = $\frac{1}{2}$ $_{MD. AM}$ = $\frac{1}{2}$$_{5 . 5}$ = .$12,5^{2}$ cm

Hình: