Giải thích các bước giải:

a.Ta có $\Delta ABC$ vuông tại $A\to AB\perp AC$

Vì $MH//AB\to MH\perp AC, MK//AC\to MK\perp AB$

$\to AKMH$ là hình chữ nhật

$\to AM=HK$

b.Ta có $M,F$ đối xứng qua $AC\to AC$ là trung trực của $MF$

Vì $E\in AC\to EM=EF, MC=CF$

Ta có $\Delta EMC$ vuông tại $M$ vì $EM\perp BC$

         $\Delta ABC$ vuông cân tại $A\to \widehat{ACB}=45^o\to\widehat{ECM}=45^o$

$\to\Delta EMC$ vuông cân tại $M$

$\to ME=MC,\widehat{EMC}=90^o$

$\to FC=CM=ME=EF,\widehat{EMC}=90^o$

$\to EFCM$ là hình vuông

c.Xét $\Delta DBC$ có: $CA\perp BD, DM\perp BC , DM\cap CA=E$

$\to E$ là trực tâm $\Delta DBC\to BE\perp CD$

Mà $BN\perp CD$

$\to B,E,N$ thẳng hàng

d.Ta có $AKMH$ là hình chữ nhật

$\to AM\cap KH$ tại trung điểm mỗi đường

Vì $O$ là trung điểm $KH\to O$ là trung điểm $AM$

Gọi $AG\perp BC=G\to \Delta AGM$ vuông tại $G$

$\to OA=OM=OG$

$\to OA=OG\to O\in$ trung trực $AG$ cố định