Giải thích các bước giải:

Gọi M, N là trung điểm của DE, EF.

a, Xét 2 tam giác vuông ΔAEM và ΔADM có:

AM chung; EM = DM

⇒ ΔAEM = ΔADM (2 cạnh góc vuông)

⇒ AE = AD và $\widehat{A2}$ = $\widehat{A1}$ (1)

Chứng minh tương tự ta có: AE = AF và $\widehat{A4}$ = $\widehat{A3}$ (2)

Từ (1), (2) suy ra:

AE = AD = AF và $\widehat{A1}$ + $\widehat{A2}$ + $\widehat{A3}$ + $\widehat{A4}$ = 2. ($\widehat{A2}$ + $\widehat{A3}$) = 2. $90^{o}$ = $180^{o}$

⇒ AD = AF và D, A, F thẳng hàng

⇒ D và F đối xứng nhau qua A (đpcm).

b, F đối xứng với E qua N ⇒ EN⊥AC, tương tự EM⊥AB

⇒ AMEN là hình chữ nhật ⇒ EM⊥EN

⇒ ΔDEF là tam giác vuông tại E.

c, Xét ΔABD và ΔABE có:

AB chung; AD = AE; $\widehat{A1}$ = $\widehat{A2}$ 

⇒ ΔABD = ΔABE (c.g.c) ⇒ BD = BE

Tương tự ta chứng minh được CE = CF

Suy ra: BD + CF = BE + CE = BC (đpcm).

d, EN ║ AB ⇒ $\widehat{E1}$ = $\widehat{B1}$ mà $\widehat{B1}$ = $\widehat{B2}$ (do ΔABD = ΔABE) và$\widehat{E1}$ = $\widehat{F1}$

⇒ $\widehat{B2}$ = $\widehat{F1}$

lại có AB ║ EF ⇒ BD ║ CF

⇒ BDFC là hình thang (CF, BD là 2 cạnh đáy)

e, Để BDFC là hình bình hành thì CF = BD mà CF = CE; BD = BE

⇒ CE = BE ⇔ E là trung điểm của BC

f, Để BDFC là hình chữ nhật thì BD⊥BC mà $\widehat{B2}$ = $\widehat{B1}$

⇒ $\widehat{B2}$ = $\widehat{B1}$ = $45^{o}$ ⇒ ΔABC vuông cân ở A. 

Đồng thời kết hợp với điều kiện để BDFC là hình bình hành tức E là trung điểm của BC

Khi đó BDFC sẽ là hình chữ nhật