Đáp án:

$\left[\begin{array}{l}m = 4\\m =-\dfrac49\end{array}\right.$

Giải thích các bước giải:

$x^4 - 2(m+1)x^2 + 2m + 1 = 0\quad (*)$

Đặt $t = x^2\quad (t\geq 0)$

Phương trình trở thành:

$t^2 - 2(m+1)t + 2m +1 = 0\quad (**)$

$(*)$ có $4$ nghiệm phân biệt $(**)$ có $2$ nghiệm dương phân biệt $t_2 > t_1 > 0$

$\Leftrightarrow \begin{cases}\Delta_{(**)}' > 0\\t_1 + t_2 > 0\\t_1t_2 > 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}(m+1)^2 - (2m+1) > 0\\2(m+1) > 0\\2m + 1 > 0\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m^2 > 0\\m > -1 \\m >-\dfrac12\end{cases}$

$\Leftrightarrow \begin{cases}m \ne 0\\m >-\dfrac12\end{cases}$

Khi đó, $4$ nghiệm phân biệt của $-\sqrt{t_2};\,-\sqrt{t_1};\, \sqrt{t_1};\,\sqrt{t_2}$

$4$ nghiệm lập thành cấp số cộng

$\Leftrightarrow \begin{cases}-\sqrt{t_2} + \sqrt{t_1} = -2\sqrt{t_1}\\-\sqrt{t_1} +\sqrt{t_2} = 2\sqrt{t_1}\end{cases}$

$\Leftrightarrow \sqrt{t_2} = 3\sqrt{t_1}$

$\Rightarrow t_2 = 9t_1$

Theo định lý Viète, ta có:

$\begin{cases}t_1 + t_2 = 2(m+1)\\t_1t_2 = 2m+1\end{cases}$

$\to \begin{cases}t_1 + 9t_1 = 2(m+1)\\t_1.9t_1= 2m+1\end{cases}$

$\to \begin{cases}10t_1 = 2(m+1)\\9t_1^2= 2m+1\end{cases}$

$\to \begin{cases}t_1 = \dfrac15(m+1)\\t_1^2= \dfrac{2m+1}{9}\end{cases}$

$\to \left[\dfrac15(m+1)\right]^2 = \dfrac19(2m+1)$

$\to 9(m+1)^2 = 25(2m+1)$

$\to 9m^2 + 18m + 9 = 50m + 25$

$\to 9m^2 - 32m - 16 = 0$

$\to \left[\begin{array}{l}m = 4\\m =-\dfrac49\end{array}\right.\quad (nhận)$

Vậy $m = 4$ hoặc $m = -\dfrac49$