Đáp án:

$m = 11$

Giải thích các bước giải:

$x^3 - 3x^2- 9x +m = 0\quad (*)$

Phương trình có $3$ nghiệm lập thành cấp số cộng

$\Leftrightarrow \begin{cases}x_1 + x_3 = 2x_2\\x_1 + x_2 + x_3 = 3\end{cases}$

$\Leftrightarrow 3x_2 = 3$

$\Leftrightarrow x_2 = 1$

Với $x_2 = 1$ ta được:

$(*)\Leftrightarrow 1^3 - 3.1^2 - 9.1 + m = 0$

$\Leftrightarrow m = 11$

Với $m = 11$ ta được:

$(*)\Leftrightarrow x^3 - 3x - 9x + 22 = 0$

$\Leftrightarrow (x-1)(x^2 - 2x -11)=0$

$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x_1= 1 -\sqrt{12} \\x_2= 1\\x_3 = 1 +\sqrt{12}\end{array}\right.$

$\Rightarrow x_1 + x_3 = 2x_2$

Vậy phương trình có $3$ nghiệm lập thành cấp số cộng khi $m = 11$

`x^3 - 3x^2 - 9x + m = 0`

`text{Gọi 3 nghiệm của phương trình lần lượt là:}` `x_{1}; x_{2}; x_{3}`

`text{Để phương trình có 3 nghiệm lập thành 1 cấp số cộng}`

`->` \(\left\{ \begin{array}{l}x_1 + x_3 = 2x_{2}\\x_{1} + x_{2} + x_{3} = \dfrac{-b}{a} = 3\end{array} \right.\) 

`-> 2x_{2} + x_{2} = 3`

`-> x_{2} = 1`

`text{Thay}` `x_{2} = 1` `text{vào phương trình đã cho, ta được}`

`1^3 - 3.1^2 - 9.1 + m = 0`

`-> m = 11`

`-> text{Vậy m = 11}` `text{thì phương trình có 3 nghiệm là 1 cấp số cộng}`

`text{Thay m = 11 vào phương trình đã cho, ta được}`

`x^3 - 3x^2 - 9x + 11 = 0`

`->` \(\left[ \begin{array}{l}x_{2} = 1\\x_{1} = 1 + 2\sqrt{3}\\x_{3} = 1 - 2\sqrt{3}\end{array} \right.\) 

`-> x_1 + x_3 = 1 + 2sqrt{3} + 1 - 2sqrt{3} = 2 = 2x_{2}`

`text{Vậy}`