Đáp án:

a)  Phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu

b)  $\left[\begin{array}{l}m=0\\m=-3\end{array}\right.$

Giải thích các bước giải:

${{x}^{2}}-3\left( m+1 \right)x+m-{{m}^{2}}-4=0$

a)

Để phương trình có hai nghiệm trái dấu

Thì $a.c<0$

$\Leftrightarrow 1.\left( m-{{m}^{2}}-4 \right)<0$

$\Leftrightarrow {{m}^{2}}-m+4>0$

$\Leftrightarrow \left( {{m}^{2}}-m+\dfrac{1}{4} \right)+\dfrac{15}{4}>0$

$\Leftrightarrow {{\left( m-\dfrac{1}{2} \right)}^{2}}+\dfrac{15}{4}>0$  (luôn đúng với mọi $m$)

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm trái dấu với mọi $m$

b)

Vì phương trình luôn có hai nghiệm với mọi $m$

Nên theo hệ thức Vi-et, ta có: $\begin{cases}x_1+x_2=3m+3\\x_1x_2=m-m^2-4\end{cases}$

Giả thiết: ${{x}_{1}}+4{{x}_{2}}=0$

Giải hệ: $\begin{cases}x_1+x_2=3m+3\\x_1+4x_2=0\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}3x_2=3m+3\\x_1=-4x_2\end{cases}$

$\Leftrightarrow\begin{cases}x_2=m+1\\x_1=-4\left(m+1\right)\end{cases}$

Thay vào ${{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-{{m}^{2}}-4$

Ta được $-4{{\left( m+1 \right)}^{2}}=m-{{m}^{2}}-4$

$\Leftrightarrow -4\left( {{m}^{2}}+2m+1 \right)=m-{{m}^{2}}-4$

$\Leftrightarrow -3{{m}^{2}}-9m=0$

$\Leftrightarrow -3m\left( m+3 \right)=0$

$\Leftrightarrow\left[\begin{array}{l}m=0\\m=-3\end{array}\right.$