Ghi đề nhìn khá rắc rối:)

a,

\(AC.BD=a^2=AI.BI\to \dfrac{AC}{AI}=\dfrac{BI}{BD}\\\to \Delta AIC\backsim \Delta BDI\\\to \dfrac{CI}{DI}=\dfrac{AC}{BI}=\dfrac{AC}{AI},\widehat{CID}=90^o\\\to \Delta ICD\backsim \Delta ACI\)

b,

\(\Delta ICD\backsim \Delta ACI\to \widehat{ACI}= \widehat{ICD}\\\to \Delta ACI=\Delta HCI\\\to HI=AI=BI=\dfrac{AB}{2}\)

\(\Delta AHB\) có: \(HI=\dfrac{AB}{2}, HI\) là đường trung tuyến.

\(\to \Delta AHB\) vuông tại \(H\).

c,

Gọi \(V=BH∩Ax\)

\(\Delta ACI=\Delta HCI\to AC=CH, AI=HI\)

\(\to CI\bot AH, AH\bot BV\to CI//BV\\\to \widehat{CVH}=\widehat{ACI},\widehat{CHV}=\widehat{HCI}\\\to \widehat{CVH}=\widehat{CHV}\)

\(\to \Delta CHV\) cân tại \(C\).

\(\to CV=CH=AC\)

Gọi \(O\) là trung điểm của \(HK\)

Gọi \(O'=HK∩BC\)

Talet: \(\dfrac{HO'}{VC}=\dfrac{O'K}{AC}=\dfrac{BO'}{BC}\to HO'=O'K\)

\(\to O'\) là trung điểm của \(HK\to O'≡O\)

\(\to BC\) đi qua trung điểm \(O\) của \(HK\)

Tương tự: \(AD\) đi qua trung điểm \(O\) của \(HK\)

\(\to AD,BC,HK\) đồng quy.

d,

\(S_{ABDC}=\dfrac{1}{2}.AB.(AC+BD)\)

Cauchy: \(AC+BD\ge 2\sqrt{AC.BD}=2\sqrt{a^2}=2a\\\to S_{ABDC}\ge \dfrac{1}{2}.2a.2a=2a^2\)

Dấu "=" xảy ra khi: \(AC=BD\to AC=AI\)

\(\to C\in Ax\) và cách \(Ax\) 1 khoảng \(=AI\)