a) Ta có:

$ΔABC$ vuông tại $A\quad (gt)$

$\Rightarrow AB\perp AC$

Ta lại có:

$BD//AC\quad (gt) \Rightarrow BD\perp AB$

$CD//AB\quad (gt)\Rightarrow CD\perp AC$

$\Rightarrow \widehat{BAC} = \widehat{ABD} = \widehat{ACD} =90^\circ$

Do đó $ABDC$ là hình chữ nhật

b) Ta có: $ABDC$ là hình chữ nhật (câu b)

$\Rightarrow$ Hai đường ché bằng nhau và cắt nhau tại trung điểm mỗi đường

$\Rightarrow OA = OB =OC = OD=\dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AD$

Xét $ΔBCE$ vuông tại $E$ có:

$O$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow OE = OB = OC = \dfrac{1}{2}BC = \dfrac{1}{2}AD$

$\Rightarrow OE = OA = OD = \dfrac{1}{2}AD$

Xét $ΔAED$ có:

$OE = OA = OD = \dfrac{1}{2}AD$

$\Rightarrow ΔAED$ vuông tại $E$

hay $\widehat{AED} =90^\circ$

c) Gọi $I$ là trung điểm $HD$

Xét $ΔBHD$ có:

$IH = ID = \dfrac{1}{2}HD\quad$ (cách dựng)

$BN = NH = \dfrac{1}{2}BH \quad (gt)$

$\Rightarrow IN$ là đường trung bình

$\Rightarrow IN=\dfrac{1}{2}BD;\, IN//BD//AC//MC$

Ta lại có:

$AM = MC = \dfrac{1}{2}AC\quad (gt)$

$AC = BD\quad (ABCD$ là hình chữ nhật$)$

Do đó $IN = MC;\, IN//MC$

$\Rightarrow INMC$ là hình bình hành

$\Rightarrow IN//CM;\, IC//MN$

$\Rightarrow IN\perp CD\quad (AC\perp CD)$

Xét $DNC$ có:

$IN\perp CD\quad (cmt)$

$DH\perp NC\quad (DH\perp BC)$

$I\in DH$

$\Rightarrow I$ là trực tâm $ΔDHC$

$\Rightarrow CI\perp DN$

$\Rightarrow MN\perp DN\quad (CI//MN)$

$\Rightarrow \widehat{MND}=90^\circ$