Giải thích các bước giải:

a.Ta có $CM,CA$ là tiếp tuyến của $(O)\to \widehat{CAO}=\widehat{CMO}=90^o$

$\to A,C,M,O$ cùng thuộc đường tròn đường kính $CO$

Hoàn toàn tương tự chứng minh được $D,B,O,M$ cùng thuộc đường tròn đường kính $OD$ 

Lại có : $CM,CA$ là tiếp tuyến của (O)
$\to CM=CA, OC$ là phân giác $\widehat{AOM}$

Tương tự $DM=DB, OD$ là phân giác $\widehat{BOM}$

$\to CD=CM+MD=AC+BD$

b.Ta có: $\widehat{AOM}+\widehat{MOB}=180^o$

   Kết hợp $OC,OD$ là phân giác $\widehat{AOM},\widehat{MOB}$

$\to OC\perp OD\to\Delta DOC$ vuông tại $O$

Ta có : $OC\perp OD, OM\perp CD$
$\to MC.MD=MO^2=R^2\to AC.BD=R^2$
c.Gọi $BM\cap AC=F$
Ta có:
$CM,CA$ là tiếp tuyến của  $(O)\to CO\perp AM$
Lại có $AB$ là đường kính của $(O)\to AM\perp BM\to CO//BM\to CO//BF$
Vì $O$ là trung điểm $AB\to OC$ là đường trung bình $\Delta ABF$
$\to C$ là trung điểm $AF$
$\to CA=CF$
Ta có $AC//BD$

$\to \dfrac{NC}{NB}=\dfrac{AC}{BD}=\dfrac{MC}{MD}$

$\to MN//BD$

Mà $BD\perp AB\to MN\perp AB$

$\to MN//AC$

$\to MH//AC$

$\to \dfrac{NM}{CF}=\dfrac{BN}{BC}=\dfrac{NH}{AC}$

$\to NM=NH$

$\to N$ là trung điểm $MH$