a,

Tứ giác $ADHE$ có:

$\widehat{DAE}=90^o$

$\widehat{HDA}=90^o$ ($HD\bot AB$)

$\widehat{AEH}=90^o$ ($HE\bot AC$)

Suy ra $ADHE$ là hình chữ nhật.

$\Rightarrow A, D, H, E$ thuộc 1 đường tròn vì hình chữ nhật luôn nội tiếp.

b,

$ADHE$ là hình chữ nhật nên $OD=OH$

$\Rightarrow \Delta OHD$ cân tại $O$

$\Rightarrow \widehat{ODH}=\widehat{OHD}$

$\Delta BHD$ vuông tại D có $DM$ trung tuyến cạnh huyền nên $DM=\dfrac{1}{2}BH=MH$

$\Rightarrow \Delta DMH$ cân tại M.

$\Rightarrow \widehat{MDE}=\widehat{MDH}+\widehat{ODH}=\widehat{MHD}+\widehat{OHD}=\widehat{MHO}=90^o$

$\Rightarrow MD\bot DE$

Tương tự, $NE\bot DE$

Vậy $MD // NE$

c,

Từ chứng minh câu b, suy ra $\Delta DOM=\Delta HOM$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{MOH}=\widehat{MOD}$

Tương tự, $\widehat{NOH}=\widehat{NOE}$

$OM$, $ON$ là phân giác của 2 góc kề bù nên $OM\bot ON$

$\Delta OMN$ vuông tại O $\Rightarrow ON<MN$

Dễ thấy $N\in MC\Rightarrow MN<CM$

Vậy $ON<MN<CM$