a) Ta có: $AB//CD\quad (gt)$

$\Rightarrow AB//CM$

Lại có: $AB=CM\quad (gt)$

$\Rightarrow ABCM$ là hình bình hành

b) Ta có:

$A$ đối xứng $K$ qua $H\quad (gt)$

$AH\perp CD\quad (gt)$

$\Rightarrow CD$ là trung trực của $AK$

$\Rightarrow \begin{cases}AD = DK\\AM = MK\end{cases}$

Ta lại có:

$AD = BC\quad (ABCD$ là hình thang cân$)$

$BC = AM\quad (ABCM$ là hình bình hành$)$

$\Rightarrow AD = AM$

Do đó: $AD = DK = AM = MK$

$\Rightarrow ADKM$ là hình thoi

c) Ta có:

$ADKM$ là hình thoi (câu b)

$\Rightarrow \widehat{ADK} = \widehat{AMK}$

$\Rightarrow \widehat{ADE} = \widehat{AMF}\quad$ (Hai góc kề bù tương ứng)

Xét $ΔADE$ và $ΔAMF$ có:

$\widehat{E} = \widehat{F} = 90^\circ$

$\widehat{ADE} = \widehat{AMF}\quad (cmt)$

$AD = AM\quad$ (câu b)

Do đó $ΔADE = ΔAMF$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow DE = MF$

$\Rightarrow DK + DE = KM + MF$

$\Rightarrow KE = KF$

$\Rightarrow ΔKEF$ cân tại $K$

$\Rightarrow \widehat{KEF} = \dfrac{180^\circ - \widehat{EKF}}{2} = \dfrac{180^\circ - \widehat{DKM}}{2}\quad (1)$

Ta lại có:

$ΔKDM$ cân tại $K\quad (KD = KM)$

$\Rightarrow \widehat{KDM} = \dfrac{180^\circ - \widehat{DKM}}{2}\qquad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow \widehat{KEF} = \widehat{KDM}$

$\Rightarrow EF//DM$

$\Rightarrow EF//BC$

d) Ta có: $ADKM$ là hình vuông

$\Rightarrow AD\perp AM$

mà $AM//BC\quad (ABCM$ là hình bình hành$)$

nên $AD\perp BC$