a) Ta có:

$M,\, H$ đối xứng nhau qua $AB$

$\Rightarrow AB$ là trung trực của $MH$

$\Rightarrow \begin{cases}AB\perp MH\\ME = EH\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{AEM} = 90^\circ$

Tương tự, ta được: $\widehat{AFM} = 90^\circ$

Xét tứ giác $AEMF$ có:

$\widehat{A} = \widehat{E} = \widehat{F} = 90^\circ$

Do đó $AEMF$ là hình chữ nhật

Ta lại có: $AC\perp AB$

$\Rightarrow AC//MH$

Xét $ΔABC$ có:

$MH//AC$

$BM = MC\quad (gt)$

$\Rightarrow AE = EB$

Xét tứ giác $AMBH$ có:

$AE = EB\quad (cmt)$

$ME = EH\quad (cmt)$

Do đó $AMBH$ là hình bình hành

Chứng minh tương tự, ta được:

$AMCK$ là hình bình hành

b) Ta có: $AB$ là trung trực của $HM$

$\Rightarrow \begin{cases}AH = AM\\\widehat{BAM} = \widehat{BAH} = \dfrac{1}{2}\widehat{MAH}\end{cases}$

$AC$ là trung trực của $KM$

$\Rightarrow \begin{cases}AK = AM\\\widehat{CAM} = \widehat{CAK} = \dfrac{1}{2}\widehat{MAK}\end{cases}$

Do đó:

$\begin{cases}AH = AK = AM\\\widehat{MAH} + \widehat{MAK} = 2(\widehat{BAM} + \widehat{CAM}) = 2\widehat{BAC}=180^\circ\end{cases}$

$\Rightarrow H$ đối xứng $K$ qua $A$

c) Ta có: $AEMF$ là hình chữ nhật (câu a)

$AEMF$ là hình vuông $\Leftrightarrow AM$ là phân giác của $\widehat{EAF}$

$\Leftrightarrow AM$ là phân giác của $\widehat{BAC}$

Ta lại có $AM$ là trung tuyến ứng với cạnh $BC$

Do đó $ΔABC$ vuông cân tại $A$