Giải thích các bước giải:

 a) Ta có:

$BC$ là dây cung của $(O)$ có $E$ là trung điểm

$\to OE\bot BC=E$

Khi đó:

$\widehat {OMC} + \widehat {OEC} = {90^0} + {90^0} = {180^0}$

$\to OMCE$ là tứ giác nội tiếp.

$\to O,M,E,C$ cùng nằm trên một đường tròn.

b) Ta có:

$\Delta OCA$ có $CM\bot AO=M$ mà $M$ là trung điểm của $OA$

$\to \Delta OCA$ cân ở $C$

$\to CA=CO$

$\to CA=CO=AO=R$

$\to \Delta OCA$ đều.

$\to \widehat{CAO}=60^0$

$\to \widehat{CAB}=60^0$

Xét $\Delta ABC;\widehat {ACB} = {90^0}$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn); $\widehat {CAB} = {60^0};AB = 2R$

$ \Rightarrow BC = AB\sin \widehat {CAB} = 2R.\sin {60^0} = 2R.\dfrac{{\sqrt 3 }}{2} = R\sqrt 3 $

Vậy $BC = R\sqrt 3 $

c) Ta có:

$OC=OB;EC=EB$

$\to OE$ là trung trực của $BC$

$\to NC=NB$ (Do $N\in OE$)

Xét $\Delta OBN;\Delta OCN$ có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
OB = OC\\
ONchung\\
NB = NC
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta OBN = \Delta OCN\left( {c.c.c} \right)\\
 \Rightarrow \widehat {OCN} = \widehat {OBN} = {90^0}\\
 \Rightarrow NC \bot OC = C
\end{array}$

$\to NC$ là tiếp tuyến của $(O)$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta MAC;\widehat {AMC} = {90^0}\\
 \Rightarrow M{A^2} + M{C^2} = A{C^2}\left( 1 \right)\\
\Delta MBD;\widehat {BMD} = {90^0}\\
 \Rightarrow M{B^2} + M{D^2} = B{D^2}
\end{array}$

$ \Rightarrow M{B^2} + M{D^2} = B{C^2}\left( 2 \right)$ (Do $AB\bot CD=M\to AB$ là trung trực của $CD$)

$\begin{array}{l}
\Delta ABC;\widehat {ACB} = {90^0}\\
 \Rightarrow A{C^2} + B{C^2} = A{B^2} = 4{R^2}\left( 3 \right)
\end{array}$

Từ $\left( 1 \right),\left( 2 \right),\left( 3 \right) \Rightarrow M{A^2} + M{C^2} + M{B^2} + M{D^2} = A{C^2} + B{C^2} = 4{R^2}$

$ \Rightarrow M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} + M{D^2} = 4{R^2}$

Ta có điều phải chứng minh.