Giải thích các bước giải:

a.Ta có: $IG\perp AC, I_aH\perp AC$

$\to IG//I_aH$

$\to \dfrac{AI}{AI_a}=\dfrac{IG}{I_aH}=\dfrac{ID}{I_aF}$

Mà $ID//I_aM$ vì cùng vuông góc $BC$

$\to \widehat{AID}=\widehat{AI_aF}$

$\to \Delta AID\sim\Delta AI_aF(c.g.c)$

$\to \widehat{DAI}=\widehat{FAI_a}$

$\to A,D,F$ thẳng hàng

Gọi tiếp điểm của $(I)$ và $AB,AC$ là $E,G$

$\to BE=BD, AE=AG, CD=CG$

$\to BE=AB-AE=AB-AG, BD=BC-BD=BC-CG$

$\to 2BD=BD+BE=(AB-AG)+(BC-CG)=AB+BC-(AG-CG)=AB+BC-AC$

Gọi $H$ là tiếp điểm của $AC, (I_a)\to CM=CH$

Mà $I_aN\perp AB, I_aM\perp BC$

$\to BN=BM, AN=AH$

Ta có: $CM=CB-BM=CB-BN, CH=AH-AC=AN-AC$

$\to 2CM=CM+CH=(BC-BN)+(AN-AC)=(AN-BN)+BC-AC=AB+BC-AC$

$\to 2BD=2CM\to BD=CM$

Mà $X$ là trung điểm $BC\to XB=XC$

$\to XD=XB-BD=XC-CM=XM$

$\to X$ là trung điểm $MN$

Lại có: $I_a$ là trung điểm $MF$

$\to XI_a$ là đường trung bình $\Delta MDF\to XI_a//DF$

$\to XI_a//AD$

b.Ta có: $BI, BI_a$ là phân giác trong và ngoài tại góc $B$ của $\Delta ABC$

$\to BI\perp BI_a$

Lại có $BM,BN$ là tiếp tuyến của $(I_a)\to BI_a\perp MN$

$\to IB//MN,\widehat{DMP}=\widehat{BMN}=\dfrac12\widehat{MI_aN}=\widehat{MI_aB}$

Lại có; $ID\perp BC\to \widehat{MDP}=90^o=\widehat{BMI_a}$

$\to\Delta DPM\sim\Delta MBI_a(g.g)$

c.Ta có: $\widehat{CDQ}=\widehat{I_aMX}=90^o$

   Lại có: $DB=MC\to BM=BC-CM=BC-BD=CD$

Ta có:

$\Delta DPM\sim\Delta MBI_a(cmt)$

$\to \dfrac{DP}{DM}=\dfrac{MB}{MI_a}$

$\to \dfrac{DP}{DM}=\dfrac{CD}{MI_a}$

$\to \dfrac{2DQ}{2MX}=\dfrac{DC}{MI_a}$

$\to \dfrac{DQ}{MX}=\dfrac{DC}{MI_a}$

$\Delta DQC\sim\Delta MXI_a(c.g.c)$

d.Từ câu c

$\to \widehat{DCQ}=\widehat{MI_aX}$

Vì $XI_a//AD\to \widehat{MI_aX}=\widehat{MFD}$

Gọi $CQ\cap AD=J$

$\to \widehat{MI_aX}=\widehat{JFM}$

$\to \widehat{DCQ}= \widehat{MI_aX}=\widehat{JFM}$

$\to\widehat{MCJ}=\widehat{JFM}$

$\to JMCF$ nội tiếp
$\to \widehat{FJC}=\widehat{FMC}=90^o$

$\to CQ\perp AD$