$Hình$ $bạn$ $tự$ $vẽ$ $nha$

a)  vì $OA$ ⊥ $CD$ $tại$ $M$

⇒$CM$ =$ MD$ (1)

     $vì$ $CD$ $cắt$ $OA$ $tại$ $trung$ $điểm$ $M$

⇒$AM$ = $MO$ = $\frac{AO}{2}$ = $\frac{R}{2}$ (2)

$từ$ (1) $và$ (2)

⇒ $ACOD$ $là$ $hình$ $bình$ $hành$

$mà$ $CD$ ⊥ $AO$

⇒ $ACOD$ $là$ $hình$ $thoi$

$ta$ $có$ $NC$ $tiếp$ $tuyến$ $(O;OA)$ $tại$ $C$

⇒$OC$=$OA$ =$R$

$ta$ $có$ $ΔCOM$ $vuông$ $tại$ $M$

⇒$cos O_1$= $\frac{MO}{CO}$=$\frac{\frac{R}{2}}{R}$ = $\frac{R}{R.2}$ =$\frac{1}{2}$ 

⇒ $góc$ $O_{1}$ =$60^{o}$ 

$xét$ $Δ NCO$ $vuông$ $tại$ $C$ 

⇒ $NO$= $\frac{CO}{cosO_1}$ = $\frac{R}{\frac{1}{2}}$ = $\frac{R.2}{1}$ = $2R$ 

⇒ $CN$ = $sinO_{1} $. $NO$ =$\frac{\sqrt[]{3}}{2}$. $2R$= $\sqrt[]{3}$. $R$

b) $xét$ $Δ BCD$ $có$ $đường$ $cao$ $BM,MC$=$MD$

  ⇒$ Δ BCD$ $cân$ $tại$ $B$ (1)

$xét$ $Δ COD$ $có$

$CO$ = $OD$

⇒$Δ COD$ $cân$

$mà$ $OM$ $là$ $đường$ $trung$ $tuyến$ $của$ $tam$ $giác$

⇒$OM$ $cũng$ $là$ $đường$ $phân$ $giác$

$mà$ $ta$ $có$ $góc$ $O_1$ =$60^{o}$ 

⇒ $COD$ = $120^{o}$ (2)

$từ$ 1 $ và$ 2  $kết$ $hợp$ $CO$ = $OB$ = $OD$ =$R$ ⇒ $Δ BDC$ $là$ Δ $đều$ 

$mà$ $CO,OD,OB$ $đồng quy tại$ $O$, $CO=OD=OB=R$

⇒ $O$ $là$ $trọng$ $tâm$ $của$ Δ

⇒$DI$ $là$ $đường$ $tt$ $của$ $CB$

⇒$CI =IB$

$hay$ $I$ $là$ $trung$ $điểm$ $của$ $CB$

$và$ $vì$ $O$ $là$ $trọng$ $tâm$ $của$ $Δ BCD$

⇒$O$ $cũng$ $là$ $trực$ $tâm$ $của$ Δ $BCD$

$DI ⊥BC$ (3)

$vì$ $E,F$ $là$ $giao$ $điểm$ $của$ $2$ $đường$ $tròn$

⇒$DO ⊥EF$ $tại$ $H$

c)  $gọi$ $Z$ $là$ $giao$ $điểm$ $của$ $đừng$ $tròn$ $tâm$ $D,$ $bán$ $kính$ $DM$ $và$ $cạnh$ $DB$

⇒$DM =DZ$

$mà$ $M$ $là$ $trung$ $điểm$ $của$ $DC$, $CDB$ $là$ $Δ đều$

⇒ $Z$ $cũng$ $là$ $trung$ $điểm$ $của$ $DB$

⇒$MZ$ $là$ $đường$ $trung$ $bình$ $của$ Δ

⇒$MZ // BC$

$mà$ $BC⊥DP$

⇒$MZ ⊥DP$

$Mà$ $BC//MZ$

⇒$MZ//EF$