Gọi $\widehat{CAx}$ là góc ngoài của $ΔABC$ ứng với cạnh $AB$

$\Rightarrow \widehat{CAx} = 60^o$

Ta có: $AA_1$ là phân giác của $\widehat{BAC}\quad (gt)$
$\Rightarrow \widehat{BAA_1} = \widehat{CAA_1} = 60^o$

$\Rightarrow \widehat{CAA_1} = \widehat{CAx} = 60^o$

$\Rightarrow AC$ là phân giác của $\widehat{A_1Ax}$

hay $AC$ là phân giác ngoài của $\widehat{BAA_1}$

Xét $ΔABA_1$ có:

$AC$ là phân giác ngoài của $\widehat{BAA_1} \quad (cmt)$

$BB_1$ là phân giác của $\widehat{ABA_1}\quad (gt)$

$AC\cap BB_1 = \{B_1\}$

$\Rightarrow B_1$ là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với $\widehat{B}$

$\Rightarrow A_1B_1$ là phân giác ngoài của $\widehat{AA_1C}$

$\Rightarrow \widehat{AA_1B_1} = \dfrac{1}{2}\widehat{AA_1C}$

Tương tự, gọi $\widehat{BAy}$ là góc ngoài của $ΔABC$ ứng với cạnh $AC$

$\Rightarrow \widehat{BAy} = \widehat{BAA_1} = 60^o$

$\Rightarrow AB$ là phân giác của $\widehat{A_1Ay}$

hay $AB$ là phân giác ngoài của $\widehat{CAA_1}$

Xét $ΔCAA_1$ có:

$AB$ là phân giác ngoài của $\widehat{CAA_1}\quad (cmt)$

$CC_1$ là phân giác của $\widehat{ACA_1}\quad (gt)$

$AB\cap CC_1 = \{C_1\}$

$\Rightarrow C_1$ là tâm đường tròn bàng tiếp ứng với $\widehat{C}$

$\Rightarrow A_1C_1$ là phân giác ngoài của $\widehat{AA_1B}$

$\Rightarrow \widehat{AA_1C_1} = \dfrac12\widehat{AA_1B}$

Do đó:

$\widehat{B_1A_1C_1} =\widehat{AA_1B_1} + \widehat{AA_1C_1} = \dfrac{1}{2}(\widehat{AA_1C} + \widehat{AA_1B}) = 90^o$

Vậy $ΔA_1B_1C_1$ là tam giác vuông