Chứng minh bất đẳng thức ` a^2 + b^2 + c^2 + a^2b^2c^2 + 2 \ge 2(ab + bc + ac)` Cách 1 : Dùng ứng dụng của nguyên lí Dirichlet Cách 2 : Dùng Buffalo Way Cách 3
Chứng minh bất đẳng thức ` a^2 + b^2 + c^2 + a^2b^2c^2 + 2 \ge 2(ab + bc + ac)` Cách 1 : Dùng ứng dụng của nguyên lí Dirichlet Cách 2 : Dùng Buffalo Way Cách 3 : Cách khác Ưu tiên cách 1 và 2 , auto ctlhn luôn nhé :3
Lời giải 1 :
Đáp án:
Giải thích các bước giải:
Theo nguyên lý Dirichlet, trong 3 số $a^2;b^2;c^2$ luôn có 2 số cùng phía so với 1, không mất tính tổng quát, giả sử đó là $a^2$ và $b^2$
$⇒(a^2-1)(b^2-1) \geq 0$
$⇔a^2b^2+1 \geq a^2+b^2$
$⇔a^2b^2c^2+c^2 \geq a^2c^2+b^2c^2$
$⇔a^2b^2c^2 \geq a^2c^2+b^2c^2-c^2$
$⇒a^2+b^2+c^2+a^2b^2c^2+2 \geq a^2+b^2+a^2c^2+b^2c^2+2$
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
$a^2+b^2+a^2c^2+b^2c^2+2 \geq 2ab+2bc+2ca$
$⇔(a^2-2ab+b^2)+(a^2c^2-2ac+1)+(b^2c^2-2bc+1) \geq 0$
$⇔(a-b)^2+(ac-1)^2+(bc-1)^2 \geq 0$ (luôn đúng)
Khỏi cần dương, số thực là đủ rồi :)
Thảo luận
Lời giải 2 :
Đáp án + giải thích các bước giải:
Trong `3` số thực bất kì bao giờ cũng tìm được hai số cùng dấu.
Theo nguyên lý Dirichlet, trong ba số `a^2-1;b^2-1;c^2-1` có hai số cùng dấu
Không mất tính tổng quát, giả sử hai số đó là `a^2-1;b^2-1`
`->(a^2-1)(b^2-1)>=0`
`->c^2(a^2-1)(b^2-1)>=0`
`->(a^2c^2-c^2)(b^2-1)>=0`
`->a^2b^2c^2-b^2c^2-a^2c^2+c^2>=0`
`->a^2b^2c^2+c^2>=b^2c^2+a^2c^2`
`->a^2b^2c^2+c^2+b^2+a^2+2>=b^2c^2+a^2c^2+a^2+b^2+2`
Ta sẽ chứng minh
`b^2c^2+a^2c^2+a^2+b^2+2>=2(ab+bc+ca)`
`->a^2-2ab+b^2+b^2c^2-2bc+1+c^2a^2-2ca+1>=0`
`->(a-b)^2+(bc-1)^2+(ca-1)^2>=0` (luôn đúng)
`->a^2 + b^2 + c^2 + a^2b^2c^2 + 2 \ge 2(ab + bc + ac)`
Dấu bằng xảy ra khi `a=b=c=±1`
Có thể bạn quan tâm
Bạn có biết?
Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Nói một cách khác, người ta cho rằng đó là môn học về "hình và số". Theo quan điểm chính thống neonics, nó là môn học nghiên cứu về các cấu trúc trừu tượng định nghĩa từ các tiên đề, bằng cách sử dụng luận lý học (lôgic) và ký hiệu toán học. Các quan điểm khác của nó được miêu tả trong triết học toán. Do khả năng ứng dụng rộng rãi trong nhiều khoa học, toán học được mệnh danh là "ngôn ngữ của vũ trụ".
Nguồn : Wikipedia - Bách khoa toàn thưTâm sự 8
Lớp 8 - Năm thứ ba ở cấp trung học cơ sở, học tập bắt đầu nặng dần, sang năm lại là năm cuối cấp áp lực lớn dần nhưng các em vẫn phải chú ý sức khỏe nhé!
Nguồn : ADMIN :))Xem thêm tại https://loigiaisgk.com/cau-hoi or https://giaibtsgk.com/cau-hoi
Copyright © 2021 HOCTAPSGK