.

a/ Xét $\Delta{ABC}$:

$H,K$ là trung điểm $BC,AC$

$\to HK$ là đường trung bình $\Delta{ABC}$

$\to HK//AB$

$\to ABHK$ là hình thang

b/ Xét $\Delta{ABC}$ cân tại $A$:

$AH$ là trung tuyến $BC$

$\to AH$ là trung trực $BC$ mà $HE$ là tia đối $HA$

$\to AE$ là trung trực $BC$

$\to EB=EC$ (tính chất đường trung trực trong $\Delta$)

Xét $\Delta{AHB}$ và $\Delta{EHC}$:

$HB=HC$ ($H$ là trung điểm $BC$)

$\widehat{AHB}=\widehat{EHC}$ (đối đỉnh)

$HA=HE(gt)$

$\to \Delta{AHB}=\Delta{EHC}(c-g-c)$

$\to EC=AB$

Ta có: $\begin{cases}AB=AC\\EB=EC\\EC=AB\end{cases}\to AB=AC=EB=EC$

Xét tứ giác $ABEC$: $AB=AC=EB=EC$

$\to ABEC$ là hình thoi

c/ $AH$ là trung trực $BC$

$\to AH\perp BC$ mà $AD\perp AH$

$\to AD//BC$

$\to \widehat{KAD}=\widehat{KCH}$ (so le trong)

Xét $\Delta{KAD}$ và $\Delta{KCH}$:

$\widehat{KAD}=\widehat{KCH}(cmt)$

$AK=CK$ ($K$ là trung điểm $AC$)

$\widehat{AKD}=\widehat{CKH}$ (đối đỉnh)

$\to \Delta{KAD}=\Delta{KCH}(g-c-g)$

$\to AD=CH$ (2 cạnh tương ứng)

mà $CH=BH$ ($AH$ là trung trực $BC$)

$\to AD=BH$ mà $AD//BH$ ($AD//BC$)

$\to ADHB$ là hình bình hành

d/ $AD//BC\to AD//CH$ mà $AD=CH$

$\to ADCH$ là hình bình hành

mà $\widehat{HAD}=90°$ ($AD\perp AH$)

$\to ADCH$ là hình chữ nhật