Giải thích các bước giải:

a,

Đường trung tuyến trong tam giác vuông bằng nửa cạnh huyền. Tam giác ABC vuông tại A có trung tuyến AM nên  \(AM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2}.20 = 10\,\,\left( {cm} \right)\)

b,

M và K lần lượt là trung điểm của BC và AC nên MK là đường trung bình của tam giác ABC hay \(\left\{ \begin{array}{l}
MK//AB\\
MK = \frac{1}{2}AB
\end{array} \right.\)

K là trung điểm của MD nên \(MD = 2MK = AB\)

Tứ giác ADMB có \(\left\{ \begin{array}{l}
MD//MK//AB\\
MD = AB
\end{array} \right.\) nên ADMB là hình bình hành.

c,

Tam giác ABC vuông tại A nên \(AB \bot AC,\,\,\,\,MK//AB \Rightarrow MK \bot AC\)

Tứ giác ADCM có hai đường chéo AC và MD vuông góc với nhau và cắt nhau tại trung điểm K của mỗi đường nên ADCM là hình thoi.

d,

ADCM là hình thoi nên để ADCM là hình vuông thì phải có 1 góc vuông.

Do đó, \(\widehat {AMC} = 90^\circ  \Rightarrow AM \bot MC \Leftrightarrow AM \bot BC\)

Tam giác ABC có AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên tam giác ABC cân tại A.

Do đó, tam giác ABC vuông cân tại A.