Đáp án:

 Bạn Tham Khảo ạ

Giải thích các bước giải:

a)Ta có :

`∠AIC=90^o` ( Do `AI⊥CE` )

`∠AHC=90^o` ( Do `AH⊥CB`)

Xét Tứ giác ACHI có :

`∠AIC=90^o` ( Do `AI⊥CE` )

`∠AHC=90^o` ( Do `AH⊥CB`)

⇒Tứ giác ACHI nội tiếp đường tròn ( Tứ giác có hải đỉnh cùng nhìn một cạnh dưới 1 góc bằng nhau là tứ giác nội tiếp )

b)Xét ΔACF có :

CI là đường phân giác ( giả thiết )

CI là đường cao ( `AI⊥CE`)

`=>` ΔACF cân tại C ( Tam giác có đường phân giác cũng là đường cao là Δcân)

c) Do ΔABC nội tiếp đường tròn có BC là đường kính

⇒ ΔABC vuông tại A ( Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔABC vuông tại A đường cao AH ta có :

`AC^2=CH.CB(1)`

Áp dụng hệ thức lượng vào ΔACE vuông tại A đường cao AI ta có :

`AC^2=CI.CE(2)`

Từ (1) và (2) Ta có :

`CH.CB=CI.CE(đpcm)`

d)Chịu :(

a) Ta có:

$\begin{cases}AH\perp BC\quad (gt)\\AI\perp CE\quad (gt)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{AIC} = \widehat{AHC} = 90^o$

Xét tứ giác $ACHI$ có:

$\widehat{AIC} = \widehat{AHC} = 90^o$

$\widehat{AIC}$ và $\widehat{AHC}$ cùng nhìn cạnh $AC$

Do đó $ACHI$ là tứ giác nội tiếp

b) Ta có:

$ΔAIC$ vuông tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IAC} = 90^o - \widehat{ACI} = 90^o - \widehat{ACE}$

$ΔFIC$ vuông tại $I$

$\Rightarrow \widehat{IFC} = 90^o - \widehat{FCI} = 90^o - \widehat{BCE}$

Ta lại có:

$\widehat{ACE} = \widehat{BCE} = \dfrac{1}{2}\widehat{ACB}\quad (gt)$

Do đó $\widehat{IAC} = \widehat{IFC}$

$\Rightarrow \widehat{FAC} = \widehat{AFC}$

$\Rightarrow ΔACF$ cân tại $C$

c) Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔAEC$ vuông tại $A$ đường cao $AI$ ta được:

$AC^2 = CI.CE$

Áp dụng hệ thức lượng vào $ΔABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$AC^2 = CH.CB$

Do đó: $CH.CB = CI.CE \qquad (=AC^2)$

d) $ΔACF$ cân tại $C$ (câu b)

$\Rightarrow \begin{cases}\widehat{AFC} = \widehat{FAC}\\AC = CF\\AI = \dfrac{1}{2}AF\end{cases}$

Ta có:

$AI = AC.\cos\widehat{IAC}$

$\to AI = AC.\cos\widehat{AFC}$

$\to AI = AC\cdot\dfrac{FH}{AF}$

$\to \dfrac{1}{2}AF = AC\cdot\dfrac{FH}{AF}$

$\to \dfrac{1}{2}AF^2 = AC.FH$

$\to AF^2 = 2AC.(FC - CH)$

$\to AF^2 = 2AC.(AC - CH)$

$\to 2AC^2 - 2AC.CH - AF^2 = 0$

$\to 2AC^2 - 2AC.9 - (6\sqrt5)^2 = 0$

$\to AC^2 - 9AC - 90 =0$

$\to \left[\begin{array}{l}AC= - 6\quad (loại)\\AC = 15\end{array}\right.$

$\to AC = 15\, cm$

Áp dụng hệ thức lượng trong $ΔABC$ vuông tại $A$ đường cao $AH$ ta được:

$AC^2 = CH.BC$

$\Rightarrow BC = \dfrac{AC^2}{CH} = \dfrac{15^2}{9} = 25\, cm$

$\Rightarrow BH = BC - CH = 25 - 9 = 16\, cm$

$\Rightarrow AC^2 = BH.BC = 16.25 = 400$

$\Rightarrow AC = \sqrt{400} = 20\, cm$

Ta được:

$S_{ABC} = \dfrac{1}{2}AB.AC = \dfrac{1}{2}.20.15 = 150\, cm^2$