Giải thích các bước giải:

Giả thiết:
$\Delta IMD, IM=ID$
$H\in MD, HM=HD=\dfrac12MD$
$IM=12cm, DM=10cm$
$A\in$ tia đối của tia $MD, B\in$ tia đối của tia $DM, MA=BD$
$ME\perp IA, DF\perp IB$
$ME\cap DF=O$
Kết luận: 
a.$\Delta IHM=\Delta IHD$
b.$IH=?$
c.$\Delta IAB$ là tam giác gì?
d.$IE=IF$
e.$I, H, O$ thẳng hàng

Bài làm:
a.Xét $\Delta IMH,\Delta IHD$ có:
Chung $IH$
$IM=DI$
$HM=HD$
$\to\Delta IHM=\Delta IHD(c.c.c)$
b.Từ câu a $\to \widehat{IHM}=\widehat{IHD}$
Mà $\widehat{IHM}+\widehat{IHD}=180^o$
$\to \widehat{IHM}=\widehat{IHD}=90^o$
$\to \Delta IHM$ vuông tại $H$
Do $H$ là trung điểm $MD\to MH=HD=\dfrac12MD=5(cm)$
$\to IH^2=IM^2-MH^2=119$
$\to IH=\sqrt{119}$
c.Ta có: $\widehat{IHM}=90^o\to IH\perp MD\to IH\perp HA, IH\perp HB$
Vì $AH=AM+MH=BD+DH=BH$
$\to AI^2=IH^2+HA^2=IH^2+HB^2=IB^2$
$\to AI=IB$
$\to \Delta IAB$ cân tại $I$
d.Vì $\Delta AIB$ cân tại $I\to\widehat{IAB}=\widehat{IBA}$
$\to \widehat{MAE}=\widehat{DBF}$
Xét $\Delta AEM,\Delta BDF$ có:
$\widehat{MEA}=\widehat{DFB}(=90^o)$
$AM=BD$
$\widehat{MAE}=\widehat{DBF}$
$\to \Delta AME=\Delta BDF$(cạnh huyền-góc nhọn)
$\to AE=BF$
$\to IE=IA-AE=IB-BF=IF$
e.Ta có: $OE\perp IA, OF\perp IB$
$\to OE^2=IO^2-IE^2=IO^2-IF^2=OF^2$
$\to OE=OF$
Từ câu d $\to ME=DF$
$\to OM=OE-EM=OF-DF=OD$
Vì $IM=ID, OM=OD, HM=HD$
$\to I, H, O\in$ trung trực $MD$
$\to I,H, O$ thẳng hàng