1. Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$ 

$ \Rightarrow AM$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác vừa là đường trung tuyến

$ \Rightarrow \widehat {AMB} = \widehat {AMC}( = {90^ \circ }) \\ \Rightarrow BM = MC \\ $

Xét $\Delta ABM$ và $\Delta ACM$, ta có

$ \widehat {AMB} = \widehat {AMC} \\ BM = MC $

$AM$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta ABM = \Delta ACM(c - g - c)$

2. Ta có: $ A{\text{E}} = A{\text{D(gt)}}$ 

$AB = AC$( tam giác $ABC$ cân tại $A$) 

$AB = A{\text{E}} + EB \\ AC = A{\text{D}} + DC \\ \Rightarrow BE = DC \\ $

Xét $\Delta EBM$ và $\Delta DCM$, ta có:

$\widehat B = \widehat C$( tam giác $ABC$ cân tại $A$) $ BM = MC \\ BE = DC \\ $

$\Rightarrow \Delta EBM = \Delta DCM(c - g - c)$

3.Vì $\Delta ABC$ cân tại $A$

$ \Rightarrow AM$ vừa là đường cao vừa là đường phân giác

$\Rightarrow \widehat {E{\text{A}}M} = \widehat {MAC}$

Xét $\Delta A{\text{E}}M$ và $\Delta A{\text{D}}M$, ta có

$ A{\text{E}} = A{\text{D}}(gt) \\ \widehat {E{\text{A}}M} = \widehat {MAC}  $

$AM$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta A{\text{E}}M = \Delta A{\text{D}}M(c - g - c)$

4. Gọi $I$ là giao điểm của $DE$ và AM$

Xét $\Delta A{\text{E}}I$ và $\Delta AI{\text{D}}$, ta có:

$ A{\text{E}} = A{\text{D}}(gt) \\ \widehat {E{\text{A}}M} = \widehat {MAC} $

$AI$ là cạnh chung

$ \Rightarrow \Delta A{\text{E}}I = \Delta AI{\text{D(c - g - c)}}$

$ \Rightarrow \widehat {AI{\text{E}}} = \widehat {AI{\text{D}}} \\ \widehat {AI{\text{E}}} + \widehat {AI{\text{D}}} = {180^ \circ } \\ \Rightarrow \widehat {AI{\text{E}}} = \widehat {AI{\text{D}}} = {90^ \circ } \\ \Rightarrow AI \bot E{\text{D}} \\ \Rightarrow AM \bot E{\text{D}} \\ AM \bot BC \\ \Rightarrow E{\text{D}}//MC \\ $