Giải thích các bước giải:

1.Vì $I$ là trung điểm $MN\to OI\perp MN$

         $AC$ là tiếp tuyến của $(O)\to AC\perp CO$

$\to \widehat{AIO}=\widehat{ACO}=90^o$

$\to AIOC$ nội tiếp đường tròn đường kính $AO$

2.Ta có: $AB, AC$ la tiếp tuyến của $(O)\to AO\perp BC=H$ là trung điểm $BC$

$\to CH\perp AO$

Do $AC\perp CO\to AC^2=AH\cdot AO$

Xét $\Delta ACM,\Delta ANC$ có:
Chung $\hat A$

$\widehat{ACM}=\widehat{ANC}$ vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O)$

$\to \Delta ACM\sim\Delta ANC(g.g)$

$\to \dfrac{AC}{AN}=\dfrac{AM}{AC}$

$\to AM\cdot AN=AC^2=AH\cdot AO$

$\to \dfrac{AM}{AO}=\dfrac{AH}{AN}$

Do $\widehat{MAH}=\widehat{NAO}$

$\to \Delta AMH\sim\Delta AON(c.g.c)$

$\to \widehat{AHM}=\widehat{ANO}=\widehat{MNO}$

$\to MNOH$ nội tiếp

3.Từ câu 2

$\to \widehat{AHM}=\widehat{MNO}=\widehat{OMN}=\widehat{OHN}$

$\to \widehat{MHB}=\widehat{AHB}-\widehat{AHM}=90^o-\widehat{AHM}=\widehat{BHO}-\widehat{NHO}=\widehat{BHN}$

$\to HB$ là phân giác $\widehat{MHN}$

Gọi $HB\cap AN=D$

$\to HD$ là phân giác $\widehat{MHN}$

Do $HD\perp HA\to HA$ là phân giác ngoài đỉnh $H$ của $\Delta MHN$

$\to \dfrac{AM}{AN}=\dfrac{HM}{HN}=\dfrac{DM}{DN}$

Ta có: $BN//EF$

$\to \dfrac{EM}{BN}=\dfrac{AM}{AN}=\dfrac{DM}{DN}=\dfrac{MF}{BN}$

$\to ME=MF$

$\to M$ là trung điểm $EF$