Gọi $MN\cap AB = \left\{H\right\}$

Xét $ΔAHO$ và $ΔCNO$ có:

$\widehat{AOH} = \widehat{CON}$ (đối đỉnh)

$\widehat{OAH} = \widehat{OCN}$ (so le trong)

$OA = OC$ (tính chất hình bình hành)

Do đó $ΔAHO = ΔCNO\, (g.c.g)$

$\Rightarrow OH = ON\quad (1)$

Ta có:

$OA = OC;\, BF = FC$

$\Rightarrow OF//AB;\, OF=\dfrac{1}{2}AB$ (đường trung bình)

Gọi $K$ là trung điểm $AD$

$\Rightarrow AK = KD$

mà $OB = OD$

$\Rightarrow OK//AB;\, OK = \dfrac{1}{2}AB$ (đường trung bình)

$\Rightarrow OK = OF=\dfrac12KF\quad (2)$

$(1)(2)\Rightarrow NKHF$ là hình bình hành

$\Rightarrow KH//NF\qquad (*)$

Mặt khác:

$AE = EB = \dfrac{1}{2}AB\quad (gt)$

$AK = KD = \dfrac{1}{2}AD\quad$ (cách dựng)

$\Rightarrow EK$ là đường trung bình của $ΔABD$

$\Rightarrow EK//BD$

mà $MN\perp BD\quad (gt)$

$\Rightarrow MN\perp EK$

hay $MH\perp EK$

Ta lại có: $EH\perp MK\quad (AB\perp AM)$

$\Rightarrow H$ là trực tâm $ΔMEK$

$\Rightarrow KH\perp ME\qquad (**)$

$(*)(**)\Rightarrow NF\perp ME$