Giả sử $AB<AC$

a)

Ta có $\begin{cases}\widehat{IAH}+\widehat{ABC}=90{}^\circ\\\widehat{HCM}+\widehat{ABC}=90{}^\circ\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{IAH}=\widehat{HCM}$

Ta có $\begin{cases}\widehat{IHD}+\widehat{DHM}=90{}^\circ\\\widehat{HMB}+\widehat{DHM}=90{}^\circ\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{IHD}=\widehat{HMB}$

$\Rightarrow \widehat{IHA}=\widehat{HMC}$ (hai góc kề bù tương ứng bằng nhau)

Xét $\Delta AIH$ và $\Delta CHM$, ta có:

+   $\widehat{IAH}=\widehat{HCM}\left( cmt \right)$

+   $\widehat{IHA}=\widehat{HMC}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta AIH\backsim\Delta CHM\left( g.g \right)$

b)

Ta có $\begin{cases}\widehat{KAH}+\widehat{ACB}=90{}^\circ\\\widehat{HBM}+\widehat{ACB}=90{}^\circ\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{KAH}=\widehat{HBM}$

Ta có $\widehat{IHD}=\widehat{HMB}\left( cmt \right)$

Mà $\widehat{IHD}=\widehat{KHA}$ (hai góc đối đỉnh)

Nên $\widehat{KHA}=\widehat{HMB}$

Xét $\Delta AKH$ và $\Delta BHM$, ta có:

+   $\widehat{KAH}=\widehat{HBM}\left( cmt \right)$

+   $\widehat{KHA}=\widehat{HMB}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta AKH\backsim\Delta BHM\left( g.g \right)$

Ta có $\Delta AIH\backsim\Delta CHM\left( cmt \right)$  và  $\Delta AKH\backsim\Delta BHM\left( cmt \right)$

$\Rightarrow \dfrac{AH}{CM}=\dfrac{HI}{MH}$  và  $\dfrac{AH}{BM}=\dfrac{HK}{MH}$

$\Rightarrow AH.MH=HI.CM$  và  $AH.MH=HK.BM$

$\Rightarrow HI.CM=HK.BM$

Mà do $CM=BM$ (vì $M$ là trung điểm $BC$)

Nên $HI=HK$

c)

Xét $\Delta DAC$ và $\Delta DBH$, ta có:

+   $\widehat{ADC}=\widehat{BDH}=90{}^\circ $

+   $\widehat{KAH}=\widehat{HBM}\left( cmt \right)$

Nên $\Delta DAC\backsim\Delta DBH\left( g.g \right)$

Do đó $\dfrac{DA}{DB}=\dfrac{DC}{DH}$

$\Rightarrow DA.DH=DB.DC$

Áp dụng bất đẳng thức $a.b\le \dfrac{{{\left( a+b \right)}^{2}}}{4}$ với $a=DB$ và $b=DC$

Ta có $DB.DC\le \dfrac{{{\left( DB+DC \right)}^{2}}}{4}$

$\Rightarrow DA.DH\le \dfrac{B{{C}^{2}}}{4}$

$\Rightarrow DA.DH\le \dfrac{{{a}^{2}}}{4}\,\,\,\left( const \right)$

$\Rightarrow {{\left( DA.DH \right)}_{\max }}=\dfrac{{{a}^{2}}}{4}$

Dấu “=” xảy ra khi $DB=DC$

$\Leftrightarrow D$ là trung điểm $BC$

$\Leftrightarrow D\equiv M$

Giải thích các bước giải:

a) ta có CH  vuông góc vs AB

             DF vgoc vs AB

=>CH // DF

b) hai tam giác AHE  ѵà ACD đồng dạng (g.g)

=>AH/AC=AE/AD=>AH.AD=AE.AC

c) 2 tam giác AHE ѵà BHD đồng dạng (g.g)=>AH/BH=HE/HD=> AH/HE=BH/HD

xét tam giác AHB ѵà tam giácEHD có AH/HE=BH/HD

                                                             góc AHB= góc DHE 

=> 2 tam giác này đồng dạng