$a)\quad y = \dfrac{2x + 1}{x-1}$

$+) \quad TXĐ: D =\Bbb R \backslash\left\{1\right\}$

$+) \quad \text{Giới hạn và tiệm cận}$

$\mathop{\lim}\limits_{x \to \pm \infty}\dfrac{2x + 1}{x-1} = 2$

$\to y = 2$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

$\mathop{\lim}\limits_{x \to 1^+}\dfrac{2x+1}{x-1} = +\infty$

$\mathop{\lim}\limits_{x \to 1^-}\dfrac{2x+1}{x-1} = -\infty$

$\to x = 1$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

$+) \quad \text{Chiều biến thiên}$

$y' = -\dfrac{3}{(x-1)^2} < 0\quad \forall x \in D$

$\to$ Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

$\to$ Hàm số không có cực trị

$+)\quad \text{Bảng biến thiên}$

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & &  & & & 1 & & &  & & +\infty\\
\hline
y' & &  & -& &  & \Vert &  & &-&  &\\
\hline
&2&&&&&\Vert&+\infty\\
y & &&\searrow& &&\Vert & &  &\searrow\\
&&&&&-\infty&\Vert&&&&&2\\
\hline
\end{array}$

$+) \quad \text{Đồ thị hàm số}$

Ta có bảng giá trị:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x &-1& -\dfrac12&0&\dfrac12&2&\dfrac52&3\\
\hline
y &\dfrac12&0&-1&-4&5&4&\dfrac72\\
\hline
\end{array}$

- Đồ thị cắt trục hoành tại $\left(-\dfrac12;0\right)$

- Đồ thị cắt trục tung tại $(0;-1)$

- Đồ thị: Hình bên dưới

$+) \quad \text{Kết luận}$

Đồ thị hàm số nhận giao điểm $I(1;2)$ của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

$b)\quad y = \dfrac{1}{4}x^4 - 2x^2 + 3$

$+) \quad TXĐ: D = \Bbb R$

$+) \quad \mathop{\lim}\limits_{x \to +\infty}y = +\infty$

- Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng và tiệm cận ngang

$+) \quad \text{Chiều biến thiên:}$

$y ' = x^3 -4x$

$y' = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -2\\x = 0\\x = 2\end{array}\right.$

- Hàm số đồng biến trên $(-2;0)$ và $(2;+\infty)$

- Hàm số nghịch biến trên $(-\infty;-2)$ và $(0;2)$

- Hàm số đạt cực đại tại $x =0;\, y_{CĐ} = 3$

- Hàm số đạt cực tiểu tại $x= -2$ và $x = 2;\, y_{CT} = -1$

$+) \quad \text{Bảng biến thiên:}$

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & -2 & & & 0 & & & 2 & & +\infty\\
\hline
y' & & - & 0& & + & 0 & - & &0& + &\\
\hline
&+\infty&&&&&3&&&&&+\infty\\
y & &\searrow& && \nearrow& &\searrow& & &\nearrow\\
&&&-1&&&&&&-1\\
\hline
\end{array}$

$+) \quad \text{Đồ thị hàm số:}$

Ta có bảng giá trị:

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x &-3&-2&-1&0&1&2&3\\
\hline
y &\dfrac{21}{4}&-1&\dfrac54&3&\dfrac54&-1&\dfrac{21}{4}\\
\hline
\end{array}$

- Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại $(-\sqrt6; 0),(-\sqrt2;0),(\sqrt2;0),(\sqrt6;0)$

- Đồ thị hàm số cắt trục tung tại $(0;-3)$

$+) \quad \text{Kết luận:}$

Đồ thị hàm số nhận trục tung làm trục đối xứng