Giải thích các bước giải:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
3,\\
a,\\
A = \left( {\dfrac{{{a^2} - 5}}{{a + \sqrt 5 }} + 1} \right):\dfrac{1}{{a + \sqrt 5  - 1}}\\
 = \left( {\dfrac{{\left( {a - \sqrt 5 } \right)\left( {a + \sqrt 5 } \right)}}{{a + \sqrt 5 }} + 1} \right).\left( {a + \sqrt 5  - 1} \right)\\
 = \left( {a - \sqrt 5  + 1} \right)\left( {a + \sqrt 5  - 1} \right)\\
 = \left[ {a - \left( {\sqrt 5  - 1} \right)} \right].\left[ {a + \left( {\sqrt 5  - 1} \right)} \right]\\
 = {a^2} - {\left( {\sqrt 5  - 1} \right)^2}\\
 = {a^2} - \left( {6 - 2\sqrt 5 } \right)\\
 = {a^2} - 6 + 2\sqrt 5 \\
b,\\
a = \sqrt 6  \Rightarrow A = {\sqrt 6 ^2} - 6 + 2\sqrt 5  = 2\sqrt 5 \\
4,
\end{array}\) 

Áp dụng định lí Pi - ta -go cho các tam giác vuông và các công thức về đường cao trong tam giác vuông ta có:

\(\begin{array}{l}
a,\\
A{B^2} = A{H^2} + H{B^2}\\
 \Leftrightarrow A{B^2} = {15^2} + {20^2}\\
 \Leftrightarrow A{B^2} = 625\\
 \Leftrightarrow AB = 25\left( {cm} \right)\\
b,\\
A{H^2} = HB.HC\\
 \Leftrightarrow {15^2} = 20.HC\\
 \Leftrightarrow HC = 11,25\,\,\,\,\,\left( {cm} \right)\\
c,\\
BC = HC + HB = 11,25 + 20 = 31,25\,\,\,\,\left( {cm} \right)\\
d,\\
A{C^2} = H{A^2} + H{C^2}\\
 \Leftrightarrow A{C^2} = {15^2} + 11,{25^2}\\
 \Leftrightarrow A{C^2} = \dfrac{{5625}}{{16}}\\
 \Leftrightarrow AC = 18,75\,\,\,\,\left( {cm} \right)
\end{array}\)