Giải thích các bước giải:

a, AHKI là hình vuông ⇒ AH = AI
Xét 2 tam giác vuông ΔAIF và ΔAHB có:

AI = AH; $\widehat{IAF} = \widehat{HAB}$ (cùng phụ với $\widehat{BAI}$)

⇒ ΔAIF = ΔAHB (cạnh góc vuông - góc nhọn)

⇒ AF = AB
BE ║ AC ⇒ BE ⊥ AB

EF ║ AB ⇒ EF ⊥ AF
Tứ giác ABEF có 3 góc vuông ($\widehat{F}$, $\widehat{B}$, $\widehat{A}$) nên là hình chữ nhật 

Mà AF = AB (cmt) ⇒ ABEF là hình vuông (đpcm)

b, Qua E kẻ đường thẳng song song với AH,  qua F kẻ đường thẳng song song với BC, gọi G là giao 2 đường thẳng này.

EG ║ AH, EF ║ AB ⇒ $\widehat{GEF}$ = $\widehat{HAB}$

EG ║ AH, FG ║ BH, AH ⊥ BH ⇒ EG ⊥ FG

Xét 2 tam giác vuông ΔEGF và ΔAHB có:

$\widehat{GEF}$ = $\widehat{HAB}$; EF = AB

⇒ ΔEGF = ΔAHB (cạnh huyền - góc nhọn) 

⇒ EG = AH mà EG ║ AH

⇒ Tứ giác EGAH là hình bình hành

Gọi D là giao của 2 đường chéo HG, AE thì D là trung điểm mỗi đường

Dễ dàng chứng minh được G, I, D thẳng hàng

⇒ H, I, D thẳng hàng

ABEF là hình chữ nhật mà D là trung điểm của AE

⇒ D cũng là trung điểm của BF

Vậy BF, AE, HI đồng quy tại D (đpcm)

c, Ta có: EG ║ AH, IK ║ AH ⇒ EG ║ IK

EG = AH, AH = IK ⇒ EG = IK

⇒ Tứ giác EGIK là hình bình hành

⇒ EK ║ IG hay EK ║ HI (đpcm)