$\underline{\text{A - AHCK LÀ HÌNH BÌNH HÀNH. AK // HC}}$

+ Có: $ABCD$ là hình bình hành (gt)

$⇒\begin{cases} AB = CD (t/c)\\\text{AB // CD (đ/n)}\\ \end{cases}$

+ Lại có:

$\left.\begin{matrix} \text{AH = HB = $\dfrac{1}{2}$AB (H là tr.điểm AB)}\\\text{DK = KC = $\dfrac{1}{2}$DC (K là tr/điểm DC)}\\ \text{AB = DC (cmt)} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AH = HB = DK = KC }$

+ Xét tứ giác $AHCK$ có:

$\left.\begin{matrix} \text{AH = CK (cmt)}\\\text{AH // CK (hay AB // CD)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ AHCK là hình bình hành (DHNB)}$

+ Có: $AHCK$ là hình bình hành (cmt) ⇒ $AK // HC$ (t/c)

$\\$

$\underline{\text{B - CM: DM = HN}}$

+ Xét $ΔDNC$ có:

$\left.\begin{matrix} \text{ MK // NC (hay AK // HC - cmt)}\\\text{K là trung điểm DC (gt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ M là trung điểm DN (t/c đường TB)}$

⇒ $DM = MN = $ $\dfrac{1}{2}$DN $^{(1)}$

+ Xét $ΔABM$ có:

$\left.\begin{matrix} \text{HN // AM (hay HC // AK - cmt)}\\\text{H là trung điểm AB (gt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ N là trung điểm BM (t/c đường TB)}\\\text{⇒ BN = MN = $\dfrac{1}{2}$BM $^{(2)}$}$

Từ $^{(1), (2)}$ ⇒ $DM = BN (= MN)$ (đpcm)

$\\$

$\underline{\text{C - CM: BD = 2IH}}$

Gọi $J$ là giao điểm $AC$ và $BD$

+ Xét hình bình hành $ABCD$ có:

      $J$ là giao điểm của $AC$ và $BD$ (cv)

⇒ $J$ là trung điểm $AC$ (t/c)

+ Xét $ΔADC$ có:

$\left.\begin{matrix} \text{ AK là trung tuyến (K là t.điểm CD - gt)}\\\text{ DJ là trung tuyến (J là t.điểm AC - cmt)}\\ \text{ AK ∩ DJ tại M} \end{matrix}\right\}\text{⇒ M là trọng tâm ΔADC (đ/n)}$

⇒ $CI$ là đường trung tuyến (t/c trọng tâm)

⇒ $I$ là trung điểm $AD$

+ Xét $ΔABD$ có:

$\left.\begin{matrix} \text{I là trung điểm AD (cmt)}\\\text{H là trung điểm AB (gt)}\\ \text{} \end{matrix}\right\}\text{⇒ IH là đường TB của ΔABD (đ/n)}\\ \text{⇒ IH = $\dfrac{1}{2}$BD (t/c đường TB)}\\ \text{⇒ BD = 2IH (đpcm)}$