a, $2x^{2}$ + $3y^{2}$ + 4x = 19

⇔ $2x^{2}$ + 4x = 19 - $3y^{2}$

⇔ $2x^{2}$ + 4x + 2 = 21 - $3y^{2}$

⇔ 2$(x + 1)^{2}$ = 3(7 - $y^{2}$)

Vì 2$(x + 1) ⋮ 2 nên: 3(7 - $y^{2}$) ⋮ 2 hay:  7 - $y^{2}$ ⋮ 2 hay y lẻ (1)

Lại có: 7 - $y^{2}$ ≥ 0 nên: $y^{2}$ ≤ 7

⇒ $y^{2}$ ∈ { 1 ; 4 } (2)

Từ (1) và (2) ⇒ $y^{2}$ = 1 

⇒ y = 1 ; y = -1

Với y = 1 thì: 2$(x + 1)^{2}$ = 18

⇒ $(x + 1)^{2}$ = 9

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x + 1 =3\\x + 1 =-3\end{array} \right.\) 

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-4\end{array} \right.\)

Với y = -1 thì:

2$(x + 1)^{2}$ = 18

⇒ $(x + 1)^{2}$ = 9

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x + 1 =3\\x + 1 =-3\end{array} \right.\) 

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x=2\\x=-4\end{array} \right.\)

Vậy các cặp nghiệm trên là: (2 ; 1) ; (-4 ; 1) ; (2 ; -1) ; (-4 ; -1)

b, $2x^{2}$ + 3xy - $2y^{2}$ = 7

⇔ $2x^{2}$ + 4xy - xy - $2y^{2}$ = 7

⇔ 2x (x + 2y) - y(x + 2y) = 7

⇔ (2x - y)(x + 2y) = 7 = 1.7 = 7.1 = (-1) . (-7) = (-7) . (-1)

TH1: Với 2x - y = 1 và x + 2y = 7

⇒ 4x - 2y = 2 do (2(2x - y) = 1 . 2 = 2) 

⇔ $\left \{ {{4x - 2y=2} \atop {x + 2y=7}} \right.$

Cộng 2 vế trên, ta được: 5x = 9 ⇒ x = $\frac{9}{5}$ (loại) 

TH2: Với 2x - y = 7 và x + 2y = 1

⇒ 4x - 2y = 14 do (2(2x - y) = 7 . 2 = 14) 

⇔ $\left \{ {4x - 2y=14} \atop {x + 2y=1} \right.$

Cộng 2 vế trên, ta được: 5x = 15 ⇒ x = 3 ;  y = -1 (thỏa mãn)

TH3: Với 2x - y = -1  và x + 2y = -7

⇒ 4x - 2y = -2 do (2(2x - y) = (-1) . 2 = -2) 

⇔ $\left \{ {4x - 2y=-2} \atop {x + 2y=-7} \right.$

Cộng 2 vế trên, ta được: 5x = 9 ⇒ x = $\frac{-9}{5}$ (loại)

TH4: Với 2x - y = -7  và x + 2y = -1

⇒ 4x - 2y = -14 do (2(2x - y) = (-1) . 2 = -2) 

⇔ $\left \{ {4x - 2y=-14} \atop {x + 2y=-1} \right.$

Cộng 2 vế trên, ta được: 5x = -15 ⇒ x = -3 ; y = 1 (thỏa mãn)

Vậy, phương trình có nghiệm nguyên (x,y) = (3 ; -1) ; (-3 ; 1)

c, $y^{2}$ + 2xy - 3x - 2 = 0

⇔ $x^{2}$ + 2xy + $y^{2}$ = $x^{2}$ + 3x + 2

⇔ $(x + y)^{2}$ = (x + 1)(x + 2) (1)

Vì VT (VT) của (1)  là số chính phương ; VP của (1) là tích của 2 số nguyên liên tiếp  nên phải có một số bằng 0 

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x + 1 =0\\x + 2=0\end{array} \right.\) 

⇒ \(\left[ \begin{array}{l}x=-1\\x=-2\end{array} \right.\) 

Từ x = -1 ⇒ y = 1 

Từ x = -2 ⇒ y = 2

Vậy có 2 cặp số nguyên (x,y) thỏa mãn (-1 ; 1) ; (-2 ; 2)

Bài 2: 

Từ a + b + c = 7 ⇒ $(a + b + c)^{2}$ = 49 

⇔ $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ + 2(ab + ac + bc) = 49

Mà theo đề bài cho: ab + ac + bc = 9 nên

⇒ $a^{2}$ + $b^{2}$ + $c^{2}$ = 49 - 18 = 31

Bài 3:

Từ $\frac{1}{a}$ + $\frac{1}{b}$ + $\frac{1}{c}$ = $\frac{1}{a + b +c}$ 

⇒ $\frac{bc + ac + ab}{abc}$ = $\frac{1}{a + b +c}$ 

⇔ (bc + ac + ab)(a + b + c) = abc 

⇔ abc + $b^{2}$c + b$c^{2}$ + $a^{2}$c + abc + a$c^{2}$ + $a^{2}$b + a$b^{2}$ + abc - abc = 0

⇔ $b^{2}$c + b$c^{2}$ + $a^{2}$c + abc + a$c^{2}$ + $a^{2}$b + a$b^{2}$ + 2abc = 0

⇔ ($a^{2}$b + a$b^{2}$) + (abc + $b^{2}$c) + (a$c^{2}$ + b$c^{2}$) + (abc + $a^{2}$c) = 0

⇔ ab (a + b) + bc (a + b) + $c^{2}$(a + b) + ac(a + b) = 0

⇔ (ab + bc + $c^{2}$ + ac)(a + b) = 0

⇔ [b(a + c) + c(a + c)](a + b) = 0

⇔ (a + c)(b + c)(a + b) = 0 (đpcm)