Giải thích các bước giải:

a) Xét `ΔAQM` và `ΔAPM` có:

`\hat{AQM}=\hat{APM}=90^0 (MQ⊥AC;MP⊥AB)`

`AM`: cạnh chung

`\hat{QAM}=\hat{PAM} (AM` là phân giác `\hat{BAC})`

`=> ΔAQM=ΔAPM` (cạnh huyền-góc nhọn)

b) `ΔAQM=ΔAPM => AP=AQ=4cm`

`ΔAQM` vuông tại `Q => AM^2=AQ^2+MQ^2` (định lý pytago)

`=> AM^2=4^2+3^2=25 => AM=5cm`

c) `ΔAQM=ΔAPM => AQ=AP => ΔAQP` cân tại `A`

`=> \hat{AQP}=\hat{APQ}=\frac{180^0-\hat{PAQ}}{2}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}`

`ΔABC` cân tại `A => \hat{ABC}=\hat{ACB}=\frac{180^0-\hat{BAC}}{2}`

`=> \hat{AQP}=\hat{ACB}`

mà 2 góc này ở vị trí đồng vị của `PQ` và `BC =>` $PQ//BC$

d) Gọi `K` là giao điểm của `HQ` và `BC`

Xét `ΔABM` và `ΔACM` có:

`AB=AC (ΔABC` cân tại `A)`

`\hat{BAM}=\hat{CAM}` (`AM` là phân giác `\hat{BAC}`)

`AM`: cạnh chung

`=> ΔABM=ΔACM` (c.g.c) `=> \hat{AMB}=\hat{AMC}`

mà `\hat{AMB}+\hat{AMC}=180^0` (kề bù)

`=> \hat{AMB}=\hat{AMC}=90^0 => AM⊥BC`

mà `HQ⊥BC =>` $AM//HQ$

`=> \hat{AHQ}=\hat{PAM}` (đồng vị); `\hat{PAM}=\hat{AQH}` (so le trong)

`=> \hat{AHQ}=\hat{AQH} => ΔAHQ` cân tại `A`

`=>AH=AQ` mà `AP=AQ` (cmt)

`=> AH=AP => A` là trung điểm của `HP`