Đáp án:

a)  $AB:x-2y+3=0$

b)  $CD:2x+y-1=0$  và  $D\left(-\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}\right)$

c)  $\left( BC;CD \right)=81{}^\circ 52'$

Giải thích các bước giải:

$A\left( 1;2 \right)\,\,,\,\,B\left( -3;0 \right)\,\,,\,\,C\left( 0;1 \right)$

a)

Có $\overrightarrow{AB}=\left( -4;-2 \right)=-2\left( 2;1 \right)$

$\to \overrightarrow{{{n}_{AB}}}=\left( 1;-2 \right)$ là VTPT của đường thẳng $AB$

Và $AB$ đi qua $A\left( 1;2 \right)$

$\to AB:1\left( x-1 \right)-2\left( y-2 \right)=0$

$\to AB:x-2y+3=0$

b)

Đường cao $CD\bot AB$

Nên $\overrightarrow{{{n}_{CD}}}=\left( 2;1 \right)$ là VTPT của đường thẳng $CD$

Và $CD$ đi qua $C\left( 0;1 \right)$

$\to CD:2\left( x-0 \right)+1\left( y-1 \right)=0$

$\to CD:2x+y-1=0$

Có $D=CD\cap AB$

Nên tọa độ $D$ là nghiệm của hệ phương trình

$\begin{cases}x-2y+3=0\\2x+y-1=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-\dfrac{1}{5}\\y=\dfrac{7}{5}\end{cases}\Rightarrow D\left(-\dfrac{1}{5};\dfrac{7}{5}\right)$

c)

Có $\overrightarrow{BC}=\left( 3;1 \right)$$\to \overrightarrow{{{n}_{BC}}}=\left( 1;-3 \right)$ là VTPT của $BC$

Có $\overrightarrow{{{n}_{CD}}}=\left( 2;1 \right)$ là VTPT của $CD$

$\to \cos \left( BC;CD \right)=\cos \left( \overrightarrow{{{n}_{BC}}};\overrightarrow{{{n}_{CD}}} \right)=\dfrac{\left| \overrightarrow{{{n}_{BC}}}.\overrightarrow{{{n}_{CD}}} \right|}{\left| \overrightarrow{{{n}_{BC}}} \right|.\left| \overrightarrow{{{n}_{CD}}} \right|}=\dfrac{\left| 1.2+\left( -3 \right).1 \right|}{\sqrt{{{1}^{2}}+{{3}^{2}}}.\sqrt{{{2}^{2}}+{{1}^{2}}}}=\dfrac{\sqrt{2}}{10}$

$\to \left( BC;CD \right)=81{}^\circ 52'$

Đáp án + Giải thích các bước giải:

a) AB→(-4;-2) là vtcp của đường thẳng AB

⇒ n→(-1;2) làm vtpt của đường thẳng AB

Đường thẳng AB đi qua A(1;2) và có n→(-1;2) làm vtpt có pttq là:

-1(x-1) + 2(y-2) = 0

⇔ -x + 1 + 2y - 4 = 0

⇔ -x + 2y - 3 = 0

⇔ x - 2y + 3 = 0

b) CD ⊥ AB

⇒ AB→(-4;-2) là vtpt của đường thẳng CD

Đường thẳng CD đi qua C(0;1) và có n→(-4;-2) làm vtpt có pttq là:

-4(x-0) - 2(y-1) = 0

⇔ -4x - 2y + 2 = 0

⇔ 2x + y -1 = 0

Ta có: D = AB ∩ CD

⇒ Tọa độ D là nghiệm của hệ pt: $\left \{ {{x-2y+3=0} \atop {2x+y-1=0}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{x-2y=-3} \atop {2x+y=1}} \right.$ ⇔ $\left \{ {{x=\frac{-1}{5}} \atop {y=\frac{7}{5}}} \right.$ ⇒ D($\frac{-1}{5}$;$\frac{7}{5}$) 

c) BC→(3;1) là vtcp của đường thẳng BC

⇒ n→(-1;3) là vtpt của đường thẳng BC

Đường thẳng BC đi qua B(-3;0) và có n→(-1;3) làm vtpt có pttq là:

-1(x+3) + 3(y-0) = 0

⇔ -x - 3 + 3y = 0

⇔ x - 3y + 3 = 0

Ta có: $n_{CD}$→(2;1)

$n_{BC}$→(1;-3)

cos(CD,BC) = |cos($n_{CD}$→,$n_{BC}$→)| = $\frac{|2.1+1.(-3)|}{√2²+1².√(-3)².1²}$ = $\frac{√5}{15}$ 

⇒ (CD,BC) ≈ 81,43 độ