Đáp án:

a) $y = \dfrac{x^2 + 1}{x}$

$TXĐ: D = \Bbb R \backslash\left\{0\right\}$

$y' = \dfrac{x^2 - 1}{x^2}$

$y' = 0\Leftrightarrow \left[\begin{array}{l}x = -1\\x = 1\end{array}\right.$

Bảng biến thiên trên $[1;4]$

$\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty & & -1 & & & 0 & & & 1 & &&4&&& +\infty\\
\hline
y' & & + & 0& & - & \Vert & - & &0& + &&\vert&&+&\\
\hline
&&&&&&\Vert&&&&&&\dfrac{17}{4}\\
y & && && &\Vert && & &\nearrow\\
&&&&&&\Vert&&&2\\
\hline
\end{array}$

Dựa vào bảng biến thiên của $y$ trên $[1;4]$ ta được:

$\mathop{\min}\limits_{x \in [1;4]}y =2$

$\mathop{\max}\limits_{x \in [1;4]}y =\dfrac{17}{4}$

b) $y = \dfrac{x+3}{x-1}$

$TXĐ: D = \Bbb R \backslash\left\{1\right\}$

$y' = - \dfrac{4}{(x-1)^2} < 0,\,\forall x \in D$

$\Rightarrow$ Hàm số luôn nghịch biến trên từng khoảng xác định

$\Rightarrow$ Hàm số nghịch biến trên $[2;4]$

Ta được:

$\mathop{\max}\limits_{x \in [2;4]}y =y(2) = 5$

$\mathop{\min}\limits_{x \in [2;4]}y =y(4) = \dfrac{7}{3}$