Đáp án:

1) $V_{S.ABC} = \dfrac{a^3}{12}$

2) $V_{ABC.A'B'C'} =  a^3\sqrt2$

3) $V_{ABCD.A'B'C'D'} = 16a^3$

Giải thích các bước giải:

1) Ta có: $ΔSAB$ cân tại $S$

Gọi $H$ là trung điểm $AB$

$\Rightarrow AH = HB = \dfrac{1}{2}AB = \dfrac{a}{2}$

$\Rightarrow SH\perp AB$

Ta lại có:

$\begin{cases}(SAB)\perp (ABC)\\(SAB)\cap (ABC) = AB\\SH\subset (SAB);\,SH\perp AB\end{cases}\Rightarrow SH\perp (ABC)$

$\Rightarrow SH\perp AC$

mà $AC\perp AB$

$\Rightarrow AC\perp (SAB)$

$\Rightarrow AC\perp SA$

Ta có:

$\begin{cases}(SAC)\cap (ABC) = AC\\SA\perp AC;\, SA\subset (SAC)\\AB \perp AC;\, AB\subset (ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((SAC);(ABC))} = \widehat{SAB} = 45^o$

$\Rightarrow SH = AH.\tan45^o = \dfrac{a}{2}$

Ta được:

$V_{S.ABC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}.SH = \dfrac{1}{6}AB^2.SH = \dfrac{1}{6}.a^2.\dfrac{a}{2} = \dfrac{a^3}{12}$

2) Ta có:

$ΔABC$ vuông cân tại $B$ có $AC = 2a$

$\Rightarrow AB = BC = a\sqrt2$

Mặt khác:

$AA'\perp (ABC)$

$\Rightarrow AA'\perp BC$

mà $BC\perp AB$

$\Rightarrow BC\perp (AA'B'B)$

$\Rightarrow BC\perp A'B$

Ta có:

$\begin{cases}(A'BC)\cap (ABC) = BC\\A'B\perp BC;\, A'B\subset (A'BC)\\AB\perp BC;\, AB\subset (ABC)\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((A'BC);(ABC))} = \widehat{A'BA} = 45^o$

$\Rightarrow AA' = AB\tan45^o = a\sqrt2$

Ta được:

$V_{ABC.A'B'C'} = S_{ABC}.AA' = \dfrac{1}{2}AB^2.AA' = \dfrac{1}{2}(a\sqrt2)^2.a\sqrt2 = a^3\sqrt2$

3) Gọi $\left\{O\right\} = AC\cap BD$

$\Rightarrow OA = OB =OC=OD$

$\Rightarrow DO\perp AC$

Ta lại có:

$ΔADD' = ΔCDD' \, (c.g.c)$

$\Rightarrow D'A = D'C$

$\Rightarrow ΔACD'$ cân tại $D'$

$\Rightarrow D'O\perp AC$

Ta có:

$\begin{cases}(ACD')\cap (ABCD) = AC\\DO\perp AC;\, DO\subset (ABCD)\\D'O\perp AC;\, D'O\subset (ACD')\end{cases}$

$\Rightarrow \widehat{((ACD');(ABCD))} = \widehat{DOD'} = 45^o$

$\Rightarrow DO = \dfrac{DD'}{\tan45^o} = DD' = 2a$

$\Rightarrow DB = AC = 2DO = 4a$

$\Rightarrow S_{ABCD} = \dfrac{1}{2}AC.BD = 8a^2$

Ta được:

$V_{ABCD.A'B'C'D'} = S_{ABCD}.AA' = 8a^2.2a = 16a^3$