Đáp án:  $A.\,\,8x+3y-11=0$

Giải thích các bước giải:

Vì $\dfrac{{{S}_{\Delta IAB}}}{{{S}_{\Delta IAC}}}=\dfrac{4}{5}$

$\to \dfrac{IB}{IC}=\dfrac{4}{5}$

$\to \dfrac{AB}{AC}=\dfrac{4}{5}$

$\to 25A{{B}^{2}}=16A{{C}^{2}}$

Với $\Delta :x-y-4=0$

$\to \Delta :x=y+4$

Vì $A\in \Delta $ nên chọn $A\left( a+4;a \right)$

Do $G$ trọng tâm $\Delta ABC$ nên tính được $C\left( 1-a;-10-a \right)$

Ta có:

$\overrightarrow{AB}=\left( -a-3;1-a \right)\to A{{B}^{2}}=2{{a}^{2}}+4a+14$

$\overrightarrow{AC}=\left( -2a-3;-2a-10 \right)\to A{{C}^{2}}=8{{a}^{2}}+52a+109$

Với $25A{{B}^{2}}=16A{{C}^{2}}$

$\to 25\left( 2{{a}^{2}}+4a+14 \right)=16\left( 8{{a}^{2}}+52a+109 \right)$

$\to 78{{a}^{2}}+732a+1494=0$

$\to a=-3$ và $a=-\dfrac{83}{13}$

$\to A\left( 1;-3 \right)$ (nhận)   hoặc   $A\left( -\dfrac{31}{13};-\dfrac{83}{13} \right)$ (loại)

$\to C\left( 4;-7 \right)$

Vậy $\overrightarrow{BC}=\left( 3;-8 \right)$

$\to \overrightarrow{{{n}_{BC}}}=\left( 8;3 \right)$ là VTPT của đường thẳng $BC$

$\to BC:8\left( x-1 \right)+3\left( y-1 \right)=0$

$\to BC:8x+3y-11=0$

Chọn câu $A$