a) $I$ đối xứng $H$ qua $AB$

$→AB$ là đường trung trực $IH$

$→AI=AH$

$→ΔAIH$ cân tại $A$

$→AB$ là phân giác $\widehat{IAH}$

$→\widehat{A_1}=\widehat{A_2}$

$K$ đối xứng $H$ qua $AC$

$→AC$ là đường trung trực $KH$

$→AH=AK$

$→ΔAHK$ cân tại $A$

$→AC$ là đường phân giác $\widehat{HAK}$

$→\widehat{A_3}=\widehat{A_4}$

Ta có:

$\widehat{A_1}+\widehat{A_2}+\widehat{A_3}+\widehat{A_4}=2\widehat{A_2}+2\widehat{A_3}$

$=2.(\widehat{A_2}+\widehat{A_3})=2.90^\circ=180^\circ$

$→I,A,K$ thẳng hàng

b) $AB$ là đường trung trực $IH$

$→BI=BH$

$→ΔBIH$ cân tại $B$

$→BA$ là đường phân giác $\widehat{B}$

$→\widehat{B_1}=\widehat{B_2}$

$AC$ là đường trung trực $HK$

$→CH=CK$

$→ΔCHK$ cân tại $C$

$→CA$ là đường phân giác $\widehat{C}$

$→\widehat{C_1}=\widehat{C_2}$

Ta có: $\widehat{C_1}+\widehat{C_2}+\widehat{B_1}+\widehat{B_2}=2\widehat{B_2}+2\widehat{C_1}$

$=2.(\widehat{B_2}+\widehat{C_1})=2.90^\circ=180^\circ$

mà 2 góc ở vị trí trong cùng phía

$→BI//CK$

$→BIKC$ là hình thang

c) Theo cmt: $\begin{cases}AI=AH//AK=AH\end{cases}$

$→AI+AK=2AH$

$→IK=2AH$

a) Ta có:

$I$ đối xứng $H$ qua $AB$

$\Rightarrow AB$ là trung trực của $HI$

$\Rightarrow AB$ là phân giác $\widehat{HAI}$

$\Rightarrow \widehat{HAI}=2\widehat{HAB}$

Chứng minh tương tự, ta được:

$\widehat{HAK} = 2\widehat{HAC}$

Do đó:

$\widehat{HAI} + \widehat{HAK} = 2(\widehat{HAB} + \widehat{HAC}) = 2\widehat{A} = 180^o$

$\Rightarrow I, A, K$ thẳng hàng

b) Gọi $M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow MA = MB = MC$

$\Rightarrow ∆MAB;\, ∆MAC$ cân tại $M$

$\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{MBA}$ $(1)$

Ta lại có:

$AB$ là trung trực $HI$

$\Rightarrow AB$ là phân giác $\widehat{HBI}$

$\Rightarrow \widehat{HBA} = \widehat{IBA}$

Hay $\widehat{MBA} = \widehat{IBA}$ $(2)$

$(1)(2)\Rightarrow \widehat{MAB} = \widehat{IBA}$

$\Rightarrow BI//MA$

Chứng minh tương tự, ta được:

$CK//MA$

$\Rightarrow BI//CK\quad (//MA)$

$\Rightarrow BIKC$ là hình thang

c) Ta có:

$AB$ là trung trực $HI$

$\Rightarrow AI = AH$

$AC$ là trung trực $HK$

$\Rightarrow AK = AH$

$\Rightarrow AI + AK = 2AH$

$\Rightarrow IK = 2AH$