Đáp án:  $C\left( -1;6 \right)$

Giải thích các bước giải:

Giả thiết

$ABCD$ hình thang cân

$AD=3BC$

$BD:x+2y-6=0$

$H\left( -3;2 \right)$

$\Delta ABD$ có trực tâm $H$ và $AC\bot BD$

Nên trực tâm $H$ thuộc $AC$

Vì $AC\bot BD$

Nên $AC$ nhận $\overrightarrow{{{n}_{AC}}}=\left( 2;-1 \right)$ làm VTPT

Và $AC$ đi qua $H\left( -3;2 \right)$

$\to AC:2\left( x+3 \right)-\left( y-2 \right)=0$

$\to AC:2x-y+8=0$

Gọi $I$ là giao điểm $AC$ và $BD$

$\to $Tọa độ $I$ là nghiệm của hệ phương trình

$\begin{cases}2x-y+8=0\\x+2y-6=0\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x=-2\\y=4\end{cases}\Rightarrow I\left(-2;4\right)$

Vì $ABCD$ là hình thang cân

Có $I$ là giao điểm hai đường chéo

Nên $IB=IC$

Mà $AC\bot BD$ hay $IC\bot IB$

$\Rightarrow \Delta IBC$ vuông cân tại $I$

$\Rightarrow \widehat{ICB}=45{}^\circ $

Vì $H$ là trực tâm $\Delta ABD$

$\Rightarrow BH\bot AD$

$\Rightarrow BH\bot BC$

$\Rightarrow \Delta BHC$ vuông tại $B$

Có $\widehat{ICB}=45{}^\circ $

Nên $\Delta BHC$ vuông cân tại $B$

$\Rightarrow I$ là trung điểm $HC$

Với $H\left( -3;2 \right)$ và $I\left( -2;4 \right)$ $\Rightarrow C\left( -1;6 \right)$