Giải thích các bước giải:

a.Vì M,N là trung điểm AB,AC

$\to$MN là đường trung bình $\Delta ABC\to MN//BC\to \Diamond BCNM$ là hình thang

Mà $\Delta ABC$ cân tại A $\to \widehat{ABC}=\widehat{ACB}\to\Diamond BCNM$ là hình thang cân

b.Vì N là trung điểm AC,DP

$\to \Diamond ADCP$ là hình bình hành

Mà $\Delta ABC$ cân tại A $\to AP\perp BC\to \Diamond ADCP$ là hình chữ nhật

c.Ta có : 
$\dfrac{DG}{GB}=\dfrac{AD}{BC}=\dfrac{1}{2}\to \dfrac{DG}{DG+GB}=\dfrac{DG}{DB}=\dfrac{1}{3}$

$\to DG=\dfrac{1}3BD$

d.Vì E là trung điểm PC

$\to NE$ là đường trung bình $\Delta APC\to NE=\dfrac{1}{2}AP=OP,NE//AP\to \Diamond ONEP$ là hình bình hành

Mà $OP\perp PE\to \Diamond ONEP$ là hình chữ nhật

Để $\Diamond ONEP$ là hình vuông

$\to PE=OP\to \dfrac{1}2 PC=\dfrac{1}2AP\to AP=PC\to \Delta ABC$ vuông cân tại A
Vì $\Diamond ONEP$ là hình vuông

$\to PN=ON\sqrt{2}\to 2\sqrt{2}=ON\sqrt{2}\to ON=2\to PC=4\to AP=PC=PB\to S_{ABC}=\dfrac{1}2AP.BC=16$