Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Gọi \({A_1}\),\({A_2}\),…,\({A_{2018}}\) là các đỉnh của đa giác đều \(2018\) đỉnh.

Gọi \(\left( O \right)\) là đường tròn ngoại tiếp đa giác đều \({A_1}{A_2}...{A_{2018}}\).

Các đỉnh của đa giác đều chia \(\left( O \right)\) thành \(2018\) cung tròn bằng nhau, mỗi cung tròn có số đo bằng \(\dfrac{{360^\circ }}{{2018}}\).

Vì tam giác cần đếm có đỉnh là đỉnh của đa giác nên các góc của tam giác là các góc nội tiếp của \(\left( O \right)\).

Suy ra góc lớn hơn \(100^\circ \) sẽ chắn cung có số đo lớn hơn \(200^\circ \).

Cố định một đỉnh \({A_i}\). Có \(2018\) cách chọn \({A_i}\).

Gọi \({A_i}\),\({A_j}\),\({A_k}\) là các đỉnh sắp thứ tự theo chiều kim đồng hồ sao cho số đo cung nhỏ \({A_i}{A_k} < 160^\circ \) thì số đo cung lớn \({A_i}{A_k} > 360 - 160^\circ  = {200^{\rm{o}}}\) \( \Rightarrow \widehat {{A_i}{A_j}{A_k}} > 100^\circ \) và tam giác \({A_i}{A_j}{A_k}\) là tam giác cần đếm.

Khi đó cung \({A_i}{A_k}\) là hợp liên tiếp của nhiều nhất \(\left[ {\dfrac{{160}}{{\dfrac{{360}}{{2018}}}}} \right] = 896\) cung tròn nói trên.

\(896\) cung tròn này có \(897\) đỉnh. Trừ đi đỉnh \({A_i}\) thì còn \(896\) đỉnh. Do đó có \(C_{896}^2\) cách chọn hai đỉnh \({A_j}\),\({A_k}\).

Vậy có tất cả \(2018.C_{896}^2\) tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán.