Giải thích các bước giải:

a.Ta có $OE\perp MN\to OI\perp MN$

Mà $OM=ON\to \Delta OMN$ cân tại $O$

$\to OI$ là phân giác $\widehat{MON}$

b.Ta có $OI\perp MN\to OI$ là trung trực của $MN$

Mà $E\in OI\to EM=EN$

c. Ta có $MD$ là đường kính của $(O)\to MN\perp DN$

Mà $OI\perp MN\to DN//OI\to DN//OE$

Lại có $O$ là trung điểm $DN\to OI$ là đường trung bình $\Delta MND$

$\to OI=\dfrac12DN$

d.Ta có:

$EM$ là tiếp tuyến của $(O)\to \widehat{AMO}=90^o$

Mà $EO$ là trung trực của $MN\to \widehat{ENO}=\widehat{EMO}=90^o$

$\to EMON$ nội tiếp

$\to\widehat{MEI}=\widehat{INO}$ (góc nội tiếp chắn cung $MO$)

Mà $\widehat{MIE}=\widehat{ION}$

$\to \Delta IME\sim\Delta ION(g.g)$

$\to \dfrac{IM}{IO}=\dfrac{IE}{IN}$

$\to OI.IE=NI.IM$

Ta có: $\widehat{OIN}=\widehat{ONE}=90^o,\widehat{ION}=\widehat{EON}$

$\to\Delta OIN\sim\Delta ONE(g.g)$

$\to \dfrac{OI}{ON}=\dfrac{ON}{OE}$

$\to ON^2=OI.OE$

$\to R^2=OI.OE$

$\to 2R^2=2OI.OE$

$\to 2R^2=DN.OE$

e.Ta có: $OE=4R\to ME=\sqrt{OE^2-OM^2}=R\sqrt{15}$

$\to S_{EMON}=2S_{EMO}=2\cdot \dfrac12\cdot ME\cdot MO=R^2\sqrt{15}$