a) Ta có:

$CA, CM$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $M$

$\Rightarrow CA = CM$

Tương tự, $DB = DM$

Ta được: $CD = CM + DM = CA + DB$

b) Do $CA, CM$ là hai tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $M$

$\Rightarrow CO$ là trung trực của $\widehat{AOM}$

$\Rightarrow \widehat{AOC} = \widehat{MOC} = \dfrac{1}{2}\widehat{AOM}$

Tương tự ta được:

$\widehat{BOD} = \widehat{MOD} = \dfrac{1}{2}\widehat{BOM}$

Do đó ta có:

$\widehat{COD} = \widehat{MOC} + \widehat{MOD}$

$=\dfrac{1}{2}\widehat{AOM} + \dfrac{1}{2}\widehat{BOM}$

$= \dfrac{1}{2}(\widehat{AOM} +\widehat{BOM})$

$= \dfrac{1}{2}.180^o = 90^o$

$\Rightarrow ΔCOD$ vuông tại $O$

c) Xét $ΔACO$ và $ΔBOD$ có:

$\widehat{A} = \widehat{B} = 90^o$

$\widehat{ACO} = \widehat{BOD}$ (cùng phụ $\widehat{AOC}$)

Do đó $ΔACO\sim ΔBOD \, (g.g)$

$\Rightarrow \dfrac{AC}{BO} = \dfrac{AO}{BD}$

$\Rightarrow AO.BO = AC.BD$

$\Rightarrow R^2 = AC.BD$

$\Rightarrow 4R^2 = 4AC.BD$

$\Rightarrow AB^2 = 4AC.BD$

d) Ta có:

$OC$ là trung trực của $AM$

$\Rightarrow OC\perp AM$

$\Rightarrow \widehat{OIM} = 90^o$

Tương tự ta được: $\widehat{OKM} = 90^o$

$\Rightarrow OIMK$ là hình chữ nhật

Do đó $OIMK$ là hình vuông $\Leftrightarrow OM$ là phân giác của $\widehat{IOK}$

$\Leftrightarrow \widehat{MOI} = \widehat{MOK}$

hay $\widehat{MOC} = \widehat{MOD}$

$\Leftrightarrow \dfrac{1}{2}\widehat{AOM} =\dfrac{1}{2}\widehat{BOM}$

$\Leftrightarrow \widehat{AOM} = \widehat{BOM}$

mà $\widehat{AOM} + \widehat{BOM} = 180^o$

nên $\widehat{AOM} = \widehat{BOM} = 90^o$

$\Rightarrow M$ là điểm chính giữa $\overparen{AB}$

Cách 2:

Hình chữ nhật $OIMK$ là hình vuông

$\Leftrightarrow MI = MK$

$\Leftrightarrow MA = MB$

$\Leftrightarrow M$ là điểm chính giữa $\overparen{AB}$