a,Có ΔABC cân tại A(gt)⇒ABC=ACB.Mà BD,CE là tia phân giác của góc B,C

⇒EBD=DCE=1/2B=1/2C

Xét ΔABD và ΔACE có 

 góc A chung

ABD=ACE(cmt)

⇒ ΔABD ∞ ΔACE (gg)

b,Xét ΔABC có BD là tia phân giác góc B⇒DA/DC=AB/BC (tính chất đg phân giác trongΔ)

                             CE là tia phân giác góc C⇒EA/EB=AC/BC(tính chất đg phân giác trongΔ)

Mà AC=AB(vì ΔABC cân tại A)⇒DA/DC=EA/EB

⇒DA/DC+DA=EA/EB+EA(tính chất dãy tỉ lệ thức bằng nhau)

⇒DA/AC=EA/AB

Xét ΔAED và ΔABC có:

góc A chung

EA/AB=DA/AC(cmt)

⇒ΔAED ∞ ΔABC(cgc)

⇒AED=ABC(2 góc tương ứng).Mà 2 góc này ở vị trí đồng vị

⇒ED//BC(đpcm)

c,Có ED//BC(cmt)⇒EDB=DBC(2 góc so le trong)

Mà EBD=DBC(BD là phân giác góc B)

⇒EDB=EBD⇒ΔEBD cân tại E⇒EB=ED

Mặt khác ED//BC(cmt)⇒BEDC là hình thang (tứ giác có 2 cạnh đối //)   (1)

Có ΔAED ∞ ΔABC(cmt)⇒AED=ABC,ADE=ACB.mà ACB=ABC(ΔABC cân tại A)

⇒AED=ADE

Lại có AED+BED=180 ; ADE+EDC=180(2 góc kề bù)

⇒BED=EDC                                                                                                         (2)

Từ (1)(2)⇒BEDC là hình thanh cân (hình thanh có 2 góc kề bằng nhau)

EB=DC(tính chất cạnh).Mà EB=ED(cmt)

⇒BE=ED=DC(đpcm)

Đáp án:

$a)$ $ΔABC$ cân $⇒$ Góc $B =$ góc $C  (1)$

Ta có: 

Góc $B1 =$ góc $B2$ ($BD$ là phân giác) $(2)$

Góc $C1 =$ góc $C2$ ($CE$ là phân giác) $(3)$

Từ $(1), (2), (3) ⇒$ Góc $B1 =$ góc $C1 =$ góc $B2 =$ góc $C2$ 

Xét $ΔABD$ và $ΔACE,$ có: 

Góc $A$ chung

$AB = AC$ ($2$ cạnh bên tam giác cân)

Góc $B1 =$ góc $C1$ (chứng minh trên)

$⇔ ΔABD = ΔACE (g-c-g)$

$b)$ Gọi $I$ là giao điểm của $CE$ và $BD$

Xét $ΔABC,$ có: 

$CE$ là đường phân giác

$BD$ là đường phân giác 

Mà $CE$ cắt $BD$ tại $I$ 

$⇔ AI$ là đường phân giác còn lại. 

Ta có: 

$ΔABC$ cân tại $A$; $AI$ là đường phân giác

$⇔ AI$ là đường cao (Trong tam giác cân, đường phân giác vừa là đường cao) 

Hay $AI⊥BC (4)$

Vì $ΔABD = ΔACE$ (chứng minh câu $a$)

$⇔ AD = AE$ ($2$ cạnh tương ứng)

$⇒ ΔAED$ cân tại $A.$ 

Mà $AI$ là phân giác 

$⇒ AI$ là đường cao trong $ΔAED$ (Trong tam giác cân, đường phân giác vừa là đường cao)

Hay: $AI⊥ED (5)$

Từ $(4)$ và $(5) ⇒ ED//BC$ (Từ $⊥ → //$)

$c) Vì ED//BC$ (chứng minh câu $b$)

$⇔$ Góc $D1 =$ góc $B2$ ($2$ góc so le trong)

Mà góc $B2 =$ góc $B1$ (chứng minh ở câu a$$)

$⇔$ Góc $D1 =$ góc $B1$ (cùng bằng $B2$) $⇒ ΔEDB$ cân tại $E$ 

Hay $ED=BE$ ($2$ cạnh bên của tam giác cân) $(6)$

Ta có: góc $E1 =$ góc $C2$ (so le trong; $ED//BC$)

Mà góc $C1 =$ góc $C2$ (chứng minh ở câu $a$)

$⇔$ Góc $E1 =$ góc $C1$ (cùng bằng góc $C2$ ) $⇒ ΔDEC$ cân tại $D$

Hay $ED = DC$ ($2$ cạnh bên của tam giác cân) $(7)$

Từ $(6)$ và $(7) ⇒ ED=BE=DC$

BẠN THAM KHẢO NHA!!!