Đáp án:

 $1. a, D (3; 5)$

$b, A (5; 7)$

$2. a, MN : 4x − 3y − 2 = 0 $

$b, H (0; 1)$

Giải thích các bước giải:

a, Gọi $G$ là trung điểm của $DH$

$ΔDHC$ có $MG$ là đường trung bình $⇒ MG // CD$ và $CD = 2MG$
⇒ $AGMB$ là hình bình hành $⇒ AG // BM$
Xét tam giác $ADM$ có $DH$ là đường cao và $MG ⊥ AD$

$⇒ G$ là trực tâm $⇒ AG ⊥ DM ⇒ DM ⊥ BM$

Phương trình $DM$ đi qua $M$ và vuông góc với $BM ⇒ DM : 3x + 2y − 19 = 0$
$D$ là giao điểm của $AD$ và DM $⇒ D (3; 5)$
Phương trình đường thẳng $AB$ đi qua $B$ và $⊥ AD ⇒ AB : x + y − 12 = 0$
b, $A$ là giao điểm của $AB$ và $AD$ ⇒ $A (5; 7)$

2. Dễ dàng chứng minh được kết quả sau : Cho $ΔABC$ có ba gọc nhọn. Trực tâm của $ΔABC$

trùng với tâm đường tròn nội tiếp $Δ$ có ba đỉnh là chân ba đường cao của $ΔABC$
Áp dụng vào bài toán ta có $H$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $MNP$
a, Phương trình đường thẳng $MN$ đi qua $M$ và $N$ ⇒ $MN : 4x − 3y − 2 = 0$
Phương trình đường thẳng $MP$ đi qua $M$ và $P$ ⇒$ MP : x + 1 = 0$
Phương trình đường thẳng $NP$ đi qua $N$ và $P$ ⇒ $NP : y − 2 = 0$
b, Gọi tọa độ điểm $H (a; b)$ ta có $d (H, MN) = d (H, NP) = d (H, MP)$
⇔ $|a + 1| = |b − 2| =$ $\dfrac{|4a − 3b − 2|}{5}$
$⇒ H (0; 1)$