Bài 1

Ta có

$3(x+y) = xy$

$<-> 3x - xy + 3y = 0$

$<-> x(3-y) -3(3-y)+ 9 = 0$

$<-> (x-3)(3-y) = -9$

$<-> (x-3)(y-3) = 9 = 1.9 = 3.3 = (-1)(-9) = (-3)(-3)$

Do $x,y$ nguyên nên $x-3$ và $y-3$ nguyên. 

TH1: $(x-3)(y-3) = 1.9$

Vậy $x-3 = 1, y -3 = 9$ hoặc $x-3 = 9, y - 3 = 1$

Vậy $(x,y) \in \{(4, 12), (12, 4)\}$.

TH2: $(x-3)(y-3) = 3.3$

Suy ra $x = y = 6$.

TH3: $(x-3)(y-3) = (-1)(-9)$

Vậy $x-3 = -1, y-3 = -9$ hoặc $x-3 = -9, y-3 = -1$

Vậy $(x,y) \in \{(2, -6), (-6, 2)\}$

TH4: $(x-3)(y-3) = (-3)(-3)$

Vậy $x = y = 0$

Vậy tập nghiệm của hệ là

$\{ (4, 12), (12, 4), (6,6), (2, -6), (-6, 2), (0,0)\}$.

Bài 2

Ta có

$f(x) = ax^2 + bx +c$

$= a x^2 -  ax + (a+b)x - (a+b) + a + b + c$

$= ax(x-1) + (a+b)(x-1) + a + b +c$

$= (x-1)(ax + a + b) + a + b+ c$

Vậy số dư của $f(x)$ cho $x-1$ là $a + b + c$

Mặt khác

$f(x) = ax^2 + bx + c$

$= ax^2 + ax + (b-a)x + (b-a) + a - b + c$

$= ax(x+1) + (b-a)(x+1) + a-b+c$

Vậy số dư của $f(x)$ cho $x+1$ là $a-b+c$.

Do hai số dư bằng nhau nên

$a + b + c = a-b + c$

$<-> b = -b$

$<-> b = 0$

Vậy $b = 0$.