Bài 1. 

Gọi vận tốc xuôi dòng là x, vận tốc ngược dòng là y (km/h). 

   ĐK: $x > y > 0$ 

Khi xuôi dòng 81km mất thời gian: $\dfrac{81}{x} (h)$ 

Khi ngược dòng 105km mất thời gian: $\dfrac{105}{y} (h)$ 

Ta có phương trình: 

        $\dfrac{81}{x} + \dfrac{105}{y} = 8$ (1) 

Khi xuôi dòng 54km và ngược dòng 42km mất thời gian 4h nên ta có phương trình: 

      $\dfrac{54}{x} + \dfrac{42}{y} = 4$. (2) 

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}
 \dfrac{81}{x} + \dfrac{105}{y} = 8&  & \\ 
\dfrac{54}{x} + \dfrac{42}{y} = 4 &  & 
\end{matrix}\right.$ 

$\to \left\{\begin{matrix}
x = 27 &  & \\ 
y = 21 &  & 
\end{matrix}\right.$ 

Gọi vận tốc riêng của ca nô là v, vận tốc dòng nước là v' thì ta có: 

$\left\{\begin{matrix}
v + v' = 27 &  & \\ 
v - v' = 21 &  & 
\end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}
v = 24 &  & \\ 
 v' = 3&  & 
\end{matrix}\right.$ 

Vậy vận tốc riêng của ca nô là 24km/h, vận tốc dòng nước là 3km/h. 

Bài 2. 

Gọi vận tốc riêng của thuyền là x, vận tốc dòng nước là y. 

Vận tốc khí xuôi dòng là x + y; vận tốc khi ngược dòng là x - y (km/h). 

Ta có phương trình: 

$\dfrac{40}{x + y} + \dfrac{40}{x - y} = 4,5$. (1) 

Và $\dfrac{5}{x +y} = \dfrac{4}{x - y}$ 

     $\to \dfrac{5}{x + y} - \dfrac{4}{x - y} = 0$ (2) 

Ta có hệ phương trình: 

$\left\{\begin{matrix}
\dfrac{40}{x + y} + \dfrac{40}{x - y} = 4,5 &  & \\ 
 \dfrac{5}{x + y} - \dfrac{4}{x - y} = 0&  & 
\end{matrix}\right.$ 

$\to \left\{\begin{matrix}
x + y = 20 &  & \\ 
x - y = 16 &  & 
\end{matrix}\right. \to \left\{\begin{matrix}
x = 18 &  & \\ 
y = 2 &  & 
\end{matrix}\right.$ 

Vậy vận tốc dòng nước là 2km/h

Đáp án: 1. Vận tốc ca nô là 24 km/h

Vận tốc dòng nước là 3 km/h

2. Vận tốc dòng nước là 2 km/h

Giải thích các bước giải:

1. Gọi x (km/h) là vận tốc riêng của ca nô

y (km/h) là vận tốc riêng của dòng nước (x, y > 0)

Ta có: $\frac{81}{x+y}$ + $\frac{105}{x-y}$ = 8

Lại có: $\frac{54}{x+y}$ = $\frac{42}{x-y}$ = 4

Đặt m = $\frac{1}{x+y}$

       n = $\frac{1}{x-y}$

<=>$\left \{ {{81m+105n=8(1)} \atop {27m+21n=2}(2)} \right.$

Mà n = $\frac{2 - 27m}{21}$ = 8

Thay vào (1) ta đc: 81m + $\frac{105(2 - 27m)}{21}$ = 8 
<=> 81m + 10 - 135m = 8 
<=> 54m = 2 
=> m = $\frac{1}{27}$

=> n = $\frac{1}{21}$
Do đó: $\frac{1}{x+y}$ = $\frac{1}{27}$

=> x+y = 27 
$\frac{1}{x-y}$ = $\frac{1}{21}$

=> x-y = 21 
=> x = 24, y = 3 
Vậy vận tốc ca nô là 24 km/h, vận tốc dòng nước là 3 km/h.

2. Gọi x (km/h) là vận tốc của thuyền khi nc lặng

y (km/h) là vận tốc dòng nước (x, y > 0)

Vì tgian xuôi dòng 5km bằng tgian ngược dòng 4km nên ta có pt: $\frac{5}{x+y}$ = $\frac{4}{x-y}$

Vì chiếc thuyền xuôi-ngược dòng trên khúc sông 40km hết 4h30' = $\frac{9}{2}h$ nên ta có pt:

$\frac{40}{x+y}$ + $\frac{40}{x-y}$ = $\frac{9}{2}$

Lại có: $\left \{ {{\frac{5}{x+y}=\frac{4}{x-y}} \atop {\frac{40}{x+y} + \frac{40}{x-y} = \frac{9}{2}}} \right.$

Giải ra ta đc: x = 18; y = 2

Vậy vận tốc dòng nc là 2 km/h