Giải thích các bước giải:

 a) +) Ta có: 

Do $d,d'$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $OA \bot d;OB \bot d' \Rightarrow \widehat {OAM} = \widehat {OBP} = {90^0}$

$\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {OAM} = \widehat {OBP}\\
OA = OB = R\\
\widehat {AOM} = \widehat {BOP}\left( {{\rm{dd}}} \right)
\end{array} \right.$

$\begin{array}{l}
 \Rightarrow \Delta OAM = \Delta OBP\left( {g.c.g} \right)\\
 \Rightarrow OM = OP
\end{array}$

+) Ta có:

$ OM = OP\to O$ là trung điểm của $MP$

Xét $\Delta MNP$ có $O$ là trung điểm của $MP$ và $PO \bot MP = O$

$\to$ $\Delta MNP$ là tam giác cân tại $N$.

b) Ta có:

$\Delta MNP$ là tam giác cân tại $N$.

$\to NO$ là phân giác $\widehat {MNP}$

$ \Rightarrow \widehat {MON} = \widehat {PON}$

$ \Rightarrow \widehat {INO} = \widehat {BNO}$

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {OIN} = \widehat {OBN}=90^0\\
ONchung\\
\widehat {INO} = \widehat {BNO}
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta OIN = \Delta OBN\left( {ch - gn} \right)
\end{array}$

$ \Rightarrow OI = OB = R$ $\to I\in (O)$

Mà $OI\bot MN $ tại $I$ $\to MN$ là tiếp tuyến của $(O)$.

c) Ta có:

$\Delta OIN = \Delta OBN \Rightarrow NI = NB(1)$

Lại có:

$\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\widehat {OIM} = \widehat {OAM}\\
OMchung\\
OI = OA
\end{array} \right.\\
 \Rightarrow \Delta OIM = \Delta OAM\left( {ch - cgv} \right)\\
 \Rightarrow MI = MA\left( 2 \right)
\end{array}$

Từ $(1),(2)$ ta có:

$ \Rightarrow AM + BN = MI + IN = MN$

$ \Rightarrow MN = AM + BN$

d) Ta có:

$\begin{array}{l}
\Delta OMN;\widehat {MON} = {90^0};OI \bot MN = I\\
 \Rightarrow MI.NI = O{I^2} = {R^2}\\
\mathop  \Rightarrow \limits_{\left( 2 \right)}^{\left( 1 \right)} AM.BN = {R^2}
\end{array}$

$\to $ ĐPCM.