Đáp án:

Vẽ Δ vuông cân AMD tại A ( nằm trên nửa mặt phẳng bờ AM không chứa điểm B )

Ta có : 

$\left \{ {{∠BAM + ∠MAC = 90^o} \atop {∠MAC + ∠CAD = 90^o}} \right.$

=> $∠BAM = ∠CAD $

                            Xét $Δ ABM$ và $Δ ACD$ có : 

                          $AB = AC$ ( $Δ ABC$ cân tại A )

                     $AM = AD$ ( $Δ AMD$ vuông cân tại A) 

                     $∠BAM = ∠CAD$ ( chứng minh trên )

                     $=> Δ ABM = Δ ACD ( c . g . c)$

                      $=> BM = DC$ ( 2 cạnh tương ứng )

Ta có : 

$Δ AMD$ vuông cân tại A 

$=> AM^2 + AD^2 = MD^2$

Do $AM = AD => AM^2 = AD^2$

$=> AM^2 + AM^2 = MD^2$

$=> 2.AM^2 = MD^2$

mặt khác)

$MA : MB : MC = 2 : 3 : 1$

=> $\frac{MA}{2}$  = $\frac{MB}{3}$  = $\frac{CD}{3}$   = $\frac{MC}{1}$

=> $\frac{AM^2}{4}$  = $\frac{MB^2}{9}$  = $\frac{MC^2}{1}$  = $\frac{2.AM^2}{8}$ = $\frac{MD^2}{8}$ 

=> $\frac{MC^2}{1}$  = $\frac{CD^2}{9}$  = $\frac{MD^2}{8}$ = $\frac{MC^2 + MD^2}{1 + 8}$ = $\frac{MC^2 + MD^2}{9}$ 

=> $\frac{CD^2}{9}$ = $\frac{MC^2 + MD^2}{9}$ 

$=> CD^2 = MC^2 + MD^2$

Áp dụng Py-ta-go đảo

$=> Δ MCD$ vuông tại M

$=> ∠DMC = 90^o$

Do Δ AMD vuông cân tại $A => ∠AMD = 45^o$

$=> ∠AMC = ∠AMD + ∠DMC = 45^o + 90^o = 135^o$

Giải thích các bước giải:

                                     Bài làm             

Giả sử : Có MA:MB:MC=2:3:1=>$\frac{MA}{2}$=$\frac{MB}{3}$=$\frac{MC}{1}$Dựng △ANC∼AMB△ANC∼AMB (NN và BB nằm khác phía so với ACAC)

Do △ABC△ABC vuông cân tại A nên △ANC=△AMB△ANC=△AMB suy ra AM=ANAM=AN hay ∠AMN=45∘∠AMN=45∘

Gọi giao điểm của BMBM và CNCN là HH.

Cũng △ANC=△AMB△ANC=△AMB nên ∠BMA=∠ANC∠BMA=∠ANC hay tứ giác AMHNAMHN nội tiếp được hay BH⊥CNBH⊥CN

Ta có NC=MB=3NC=MB=3

Áp dụng định lí Pythago cho △AMN△AMN vuông cân tại A có: MN2=2AM2=8MN2=2AM2=8

Ta có: HN2−HC2=MN2−MC2=7HN2−HC2=MN2−MC2=7 hay (HN+HC)(HN−HC)=7⇔NC(HN−HC)=7⇔HN−HC=73(HN+HC)(HN−HC)=7⇔NC(HN−HC)=7⇔HN−HC=73

Mặt khác ta có: HN+HC=3HN+HC=3 nên do đó: HN=73,HC=13HN=73,HC=13

Ta có: ∠AMC=∠AMN+∠NMH+∠HMC=45∘+∠NMH+∠HMC∠AMC=∠AMN+∠NMH+∠HMC=45∘+∠NMH+∠HMC

Lại có: sin∠NMH=73√8,sin∠HMC=13sin∠NMH=738,sin∠HMC=13 từ đó tính được số đo ∠NMH,∠HMC∠NMH,∠HMC

Suy ra số đo của góc AMC

                                       Chúc bn học tốt :))