$a)$ Ta có: $FP//AC \, (gt)$

$\Rightarrow \dfrac{HP}{HQ} = \dfrac{HF}{HC}$ (Theo Thales)

mà $HF = HC \, (gt)$

nên $\dfrac{HF}{HC} = 1$

$\Rightarrow \dfrac{HP}{HQ} = 1$

$\Rightarrow HP = HQ$

$b)$ Ta có $FP//AC \, (gt)$

mà $BD\perp AC \, (gt)$

$\Rightarrow FP\perp BD$

hay $FP\perp BH$

Ta lại có:

$CE\perp AB \, (gt)$

$\Rightarrow BP\perp FH$

Xét $ΔFHB$ có:

$FP\perp BH \, (cmt)$

$BP \perp FH \, (cmt)$

$\Rightarrow P$ là trực tâm

$\Rightarrow HP\perp FB$ $(1)$

Xét $ΔBFC$ có:

$BM = MC \, (gt)$

$HF = HC \, (gt)$

$\Rightarrow HM$ là đường trung bình

$\Rightarrow HM//FB$  $(2)$

Từ $(1)(2) \Rightarrow HM\perp HP$

hay $HM\perp PQ$

$c)$ Xét $ΔBEC$ vuông tại $E$ có:

$M$ là trung điểm cạnh huyền $BC$

$\Rightarrow ME = MB = MC$

Tương tự với các tam giác $ΔBDC, \, ΔEHA, \, ΔDHA$ lần lượt vuông tại $D, \, E, \, D$

$\Rightarrow \begin{cases}MD = MB = MC\\JA = JH = JE\\JA=JH = JD\end{cases}$

$\Rightarrow MJ$ là trung trực của $ED$

Ta lại có: $IE = ID$

$\Rightarrow I \in$ trung trực của $ED$

$\Rightarrow I \in MJ$

$\Rightarrow J,I,M$ thẳng hàng

Đáp án:

Giải thích các bước giải:

a)a) Ta có: FP//AC(gt)FP//AC(gt)

⇒HPHQ=HFHC⇒HPHQ=HFHC (Theo Thales)

mà HF=HC(gt)HF=HC(gt)

nên HFHC=1HFHC=1

⇒HPHQ=1⇒HPHQ=1

⇒HP=HQ⇒HP=HQ

b)b) Ta có FP//AC(gt)FP//AC(gt)

mà BD⊥AC(gt)BD⊥AC(gt)

⇒FP⊥BD⇒FP⊥BD

hay FP⊥BHFP⊥BH

Ta lại có:

CE⊥AB(gt)CE⊥AB(gt)

⇒BP⊥FH⇒BP⊥FH

Xét ΔFHBΔFHB có:

FP⊥BH(cmt)FP⊥BH(cmt)

BP⊥FH(cmt)BP⊥FH(cmt)

⇒P⇒P là trực tâm

⇒HP⊥FB⇒HP⊥FB (1)(1)

Xét ΔBFCΔBFC có:

BM=MC(gt)BM=MC(gt)

HF=HC(gt)HF=HC(gt)

⇒HM⇒HM là đường trung bình

⇒HM//FB⇒HM//FB  (2)(2)

Từ (1)(2)⇒HM⊥HP(1)(2)⇒HM⊥HP

hay HM⊥PQHM⊥PQ

c)c) Xét ΔBECΔBEC vuông tại EE có:

MM là trung điểm cạnh huyền BCBC

⇒ME=MB=MC⇒ME=MB=MC

Tương tự với các tam giác ΔBDC,ΔEHA,ΔDHAΔBDC,ΔEHA,ΔDHA lần lượt vuông tại D,E,DD,E,D

⇒⎧⎨⎩MD=MB=MCJA=JH=JEJA=JH=JD⇒{MD=MB=MCJA=JH=JEJA=JH=JD

⇒MJ⇒MJ là trung trực của EDED

Ta lại có: IE=IDIE=ID

⇒I∈⇒I∈ trung trực của EDED

⇒I∈MJ⇒I∈MJ

⇒J,I,M⇒J,I,M thẳng hàng