Đáp án:

Giải thích các bước giải:

Thí dụ 1 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

y³ - x³ = 91   (1)

Lời giải : (1) tương đương với (y - x)(x² + xy + y²) = 91   (*)
Vì x² + xy + y² > 0 với mọi x, y nên từ (*) => y - x > 0.
Mặt khác, 91 = 1 x 91 = 7 x 13 và y - x ; x² + xy + y² đều nguyên dương nên ta có bốn khả năng sau :

y - x = 91 và x² + xy + y² = 1 ; (I)

y - x = 1 và x² + xy + y² = 91 ; (II)

y - x = 3 và x² + xy + y² = 7 ; (III)

y - x = 7 và x² + xy + y² = 13 ; (IV)
Đến đây, bài toán coi như được giải quyết.

Phương pháp 2 : Sắp thứ tự các ẩn
Nếu các ẩn x, y, z, ... có vai trò bình đẳng, ta có thể giả sử x ≤ y ≤ z ≤ ... để tìm các nghiệm thỏa mãn điều kiện này. Từ đó, dùng phép hoán vị để => các nghiệm của phương trình đã cho.

Thí dụ 2 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

x + y + z = xyz   (2).

Lời giải :
Do vai trò bình đẳng của x, y, z trong phương trình, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z.
Vì x, y, z nguyên dương nên xyz ≠ 0, do x ≤ y ≤ z => xyz = x + y + z ≤ 3z => xy ≤ 3 => xy thuộc {1 ; 2 ; 3}.
Nếu xy = 1 => x = y = 1, thay vào (2) ta có : 2 + z = z, vô lí.
Nếu xy = 2, do x ≤ y nên x = 1 và y = 2, thay vào (2), => z = 3.
Nếu xy = 3, do x ≤ y nên x = 1 và y = 3, thay vào (2), => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (2) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 3).

Thí dụ 3 : Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình :

1/x + 1/y + 1/z = 2   (3)

Lời giải : Do vai trò bình đẳng của x, y, z, trước hết ta xét x ≤ y ≤ z. Ta có :
2 = 1/x + 1/y + 1/z ≤ 3.1/x => x ≤ 3/2 => x = 1.

Thay x = 1 vào (3) ta có :
1/y + 1/z + 1 = 2 => 1 = 1/y + 1/z ≤ 2/y => y ≤ 2
=> y = 1 => 1/z = 0 (vô lí)
hoặc y = 2 => 1/z = 2 => z = 2.

Vậy nghiệm nguyên dương của phương trình (3) là các hoán vị của (1 ; 2 ; 2).

Phương pháp 3 : Sử dụng tính chất chia hết

Phương pháp này sử dụng tính chất chia hết để chứng minh phương trình vô nghiệm hoặc tìm nghiệm của phương trình.

Thí dụ 4 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x² - 2y² = 5   (4)

Lời giải : Từ phương trình (4) ta => x phải là số lẻ. Thay x = 2k + 1 (k thuộc Z) vào (4), ta được :
4k² +4k + 1 - 2y² = 5
tương đương 2(k² + k - 1) = y²
=> y² là số chẵn => y là số chẵn.

Đặt y = 2t (t thuộc Z), ta có :
2(k² + k - 1) = 4t²
tương đương k(k + 1) = 2t² + 1   (**)

Nhận xét : k(k + 1) là số chẵn, 2t² + 1 là số lẻ => phương trình (**) vô nghiệm.

Vậy phương trình (4) không có nghiệm nguyên.

Thí dụ 5 : Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y, z thỏa mãn :

x³ + y³ + z³ = x + y + z + 2000   (5)

Lời giải : Ta có x³ - x = (x - 1).x.(x + 1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp (với x là số nguyên). Do đó : x³ - x chia hết cho 3.

Tương tự y³ - y và z³ - z cũng chia hết cho 3. Từ đó ta có : x³ + y³ + z³ - x - y - z chia hết cho 3.

Vì 2000 không chia hết cho 3 nên x³ + y³ + z³ - x - y - z ≠ 2000 với mọi số nguyên x, y, z tức là phương trình (5) không có nghiệm nguyên.

Thí dụ 6 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

xy + x - 2y = 3   (6)

Lời giải : Ta có (6) tương đương y(x - 2) = - x + 3. Vì x = 2 không thỏa mãn phương trình nên (6) tương đương với:
y = (-x + 3)/(x - 2) tương đương y = -1 + 1/(x - 2).

Ta thấy : y là số nguyên tương đương với x - 2 là ước của 1 hay x - 2 = 1 hoặc x - 2 = -1 tương đương với x = 1 hoặc x = 3. Từ đó ta có nghiệm (x ; y) là (1 ; -2) và (3 ; 0).

Chú ý : Có thể dùng phương pháp 1 để giải bài toán này, nhờ đưa phương trình (6) về dạng : x(y + 1) - 2(y + 1) = 1 tương đương (x - 2)(y + 1) = 1.

Phương pháp 4 : Sử dụng bất đẳng thức

Dùng bất đẳng thức để đánh giá một ẩn nào đó và từ sự đánh giá này => các giá trị nguyên của ẩn này.

Thí dụ 7 : Tìm nghiệm nguyên của phương trình :

x² - xy + y² = 3   (7)

Lời giải :
(7) tương đương với (x - y/2)² = 3 - 3y²/4
Vì (x - y/2)² ≥ 0 => 3 - 4y²/4 ≥ 0
=> -2 ≤ y ≤ 2 .

Lần lượt thay y = -2 ; 2 ; -1 ; 1 ; 0 vào phương trình để tính x. Ta có các nghiệm nguyên của phương trình là :
(x ; y) thuộc {(-1 ; -2) ; (1 ; 2) ; (-2 ; -1) ; (2 ; 1) ; (-1 ; 1) ; (1 ; -1)}.